Каков радиус планеты, у которой первая космическая скорость составляет 12 км/с, а ускорение свободного падения равно

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать закон всемирного тяготения, который гласит: \[F_g = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\], где \(F_g\) - гравитационная сила, \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)), \(M\) - масса планеты, \(m\) - масса объекта, и \(r\) - расстояние от центра планеты до объекта.

При первой космической скорости, объект перестает падать и начинает двигаться вокруг планеты по круговой орбите. В этом случае сила тяготения, действующая на объект, будет равна центростремительной силе: \[F_g = \frac{{m \cdot v^2}}{r}\], где \(v\) - скорость объекта и \(r\) - радиус орбиты.

У нас дано, что первая космическая скорость равна 12 км/с, и ускорение свободного падения равно 15 м/с\(^2\). Первую космическую скорость можно найти, используя формулу для скорости околоземного космического аппарата: \[v = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{{r}}}\].

Подставим в эту формулу данные и найдем радиус планеты:

\[\sqrt{\frac{{G \cdot M}}{{r}}} = 12 \, \text{км/с}\]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[\frac{{G \cdot M}}{{r}} = (12 \, \text{км/с})^2\]

Преобразуем скорость из километров в метры, чтобы получить правильные единицы измерения:

\[\frac{{G \cdot M}}{{r}} = (12 \, \text{км/с})^2 \cdot (1000 \, \text{м / км})^2\]

Теперь выразим \(G \cdot M\) через ускорение свободного падения \(g\):

\(G \cdot M = g \cdot r^2\)

Подставим это обратно в наше уравнение:

\[\frac{{g \cdot r^2}}{{r}} = (12 \, \text{км/с})^2 \cdot (1000 \, \text{м / км})^2\]

Сократим \(r\) из числителя и знаменателя:

\[g \cdot r = (12 \, \text{км/с})^2 \cdot (1000 \, \text{м / км})^2\]

Теперь разрешим уравнение относительно \(r\):

\[r = \frac{{(12 \, \text{км/с})^2 \cdot (1000 \, \text{м / км})^2}}{{15 \, \text{м/с}^2}}\]

Распишем все единицы измерения:

\[r = \frac{{(12 \, \text{км} / \text{с})^2 \cdot (1000 \, \text{м / км})^2}}{{15 \, \text{м/с}^2}}\]

Вычислим получившееся значение:

\[r = \frac{{(12000 \, \text{м/с})^2}}{{15 \, \text{м/с}^2}}\]

\[r = \frac{{144000000 \, \text{м}^2 / \text{с}^2}}{{15 \, \text{м/с}^2}}\]

\[r = 9600000 \, \text{м}\]

Ответ: радиус планеты составляет 9600000 метров или 9600 километров.