Каков радиус кривизны траектории шарика в верхней точке, если он был брошен со скоростью горизонтально на площадке

Для решения данной задачи нам понадобится использовать законы движения. Давайте разобьем решение на несколько шагов.

Шаг 1: Определение известных величин
Из условия задачи у нас есть следующие известные величины:
- Время падения \(t = 3\) секунды
- Расстояние на земле от места броска до точки падения \(d = 21\) метр
- Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с²

Шаг 2: Определение неизвестной величины
Мы хотим узнать радиус кривизны траектории шарика в его верхней точке. Обозначим эту неизвестную величину как \(R\).

Шаг 3: Анализ движения шарика
Шарик движется по параболической траектории при свободном падении. Верхняя точка траектории является самой высокой точкой, где скорость шарика равна нулю. В этой точке ускорение направлено противоположно направлению движения шарика и имеет величину \(g\).

Шаг 4: Решение задачи
Поскольку траектория шарика является параболической, мы можем использовать следующую формулу для определения радиуса кривизны \(R\) в верхней точке:

\[
R = \frac{{(1 + \frac{{dy}}{{dx}^2)^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{{d^2y}}{{dx^2}}}}
\]

Где \( dy \) и \( dx \) - это соответственно производные по вертикальной и горизонтальной координатам траектории.

Так как шарик брошен горизонтально, горизонтальная скорость постоянна и составляет \( v_x = d / t = \frac{{21}}{{3}} = 7 \) м/с.

Вертикальное движение шарика описывается уравнением свободного падения:

\[
y = \frac{{1}}{{2}} g t^2
\]

Мы знаем, что в верхней точке траектории вертикальная скорость равна нулю, поэтому производная этой функции, которая определяет вторую производную, также равна нулю:

\[
\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = g = 10 \, \text{м/с}^2
\]

Теперь мы имеем все необходимые компоненты для подстановки в формулу радиуса кривизны:

\[
R = \frac{{(1 + \frac{{dy}}{{dx}^2)^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{{d^2y}}{{dx^2}}} = \frac{{(1 + 0^2)^{\frac{3}{2}}}}{{10}} = \frac{{(1)^{\frac{3}{2}}}}{{10}} = \frac{{1}}{{10}} = 0.1 \, \text{м}
\]

Таким образом, радиус кривизны траектории шарика в его верхней точке составляет 0.1 метра.