Каков радиус орбиты спутника Миранда, который движется вокруг планеты Уран с массой 8.7 х 10 ^25 кг на круговой орбите

Чтобы определить радиус орбиты спутника Миранда, необходимо использовать законы гравитации и центробежной силы. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с закона гравитации Ньютона, который гласит:

\[ F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \],

где F - сила гравитации между двумя телами, G - гравитационная постоянная (примерно равная \(6,67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\)), \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы этих тел, а r - расстояние между ними.

2. На орбите спутника действует центробежная сила, равная силе гравитации, потому что спутник движется по круговой орбите. Таким образом, мы можем записать:

\[ F_{\text{грав.}} = F_{\text{центр.}} \],

где \( F_{\text{грав.}} \) - сила гравитации и \( F_{\text{центр.}} \) - центробежная сила.

3. Сила гравитации для данной задачи можно выразить следующим образом:

\[ F_{\text{грав.}} = \frac{{G \cdot m_{\text{спутника}} \cdot m_{\text{планеты}}}}{{r^2}} \],

где \( m_{\text{спутника}} \) - масса спутника и \( m_{\text{планеты}} \) - масса планеты.

4. Центробежная сила на орбите может быть записана следующим образом:

\[ F_{\text{центр.}} = \frac{{m_{\text{спутника}} \cdot v^2}}{{r}} \],

где v - скорость спутника на орбите.

5. Теперь, когда у нас есть выражения для обеих сил, приравняем их:

\[ \frac{{G \cdot m_{\text{спутника}} \cdot m_{\text{планеты}}}}{{r^2}} = \frac{{m_{\text{спутника}} \cdot v^2}}{{r}} \].

6. Исключив \( m_{\text{спутника}} \), получим выражение для радиуса орбиты:

\[ r = \frac{{G \cdot m_{\text{планеты}}}}{{v^2}} \].

7. Теперь мы можем подставить значения из задачи и вычислить радиус орбиты спутника Миранда.

Давайте перейдем к вычислениям:

\[ r = \frac{{6,67 \times 10^{-11} \cdot 8,7 \times 10^{25}}}{{(6.7 \times 10^3)^2}} \].

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[ r \approx 1.296 \times 10^6 \, \text{м} \].

Таким образом, радиус орбиты спутника Миранда составляет примерно \( 1.296 \times 10^6 \) метров.

Пожалуйста, обратите внимание, что результат округлен до трех значащих цифр для удобства восприятия. В реальных вычислениях рекомендуется использовать более точное значение гравитационной постоянной и сохранять больше знаков после запятой при вычислениях.