Каков радиус описанной окружности вокруг правильного шестиугольника, если длина дуги одной из его сторон составляет

Конечно! Давайте решим вашу задачу.

1. Определим радиус описанной окружности вокруг правильного шестиугольника:
Заметим, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников.

Длина дуги одной стороны шестиугольника составляет 3π см. Поскольку шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, длина дуги одной стороны каждого из них будет равна:

\[ \frac{{3\pi}}{{6}} = \frac{{\pi}}{{2}} \text{ см} \]

Зная, что длина дуги равна \( r \theta \), где \( r \) - радиус, а \( theta \) - центральный угол в радианах, мы можем получить значение радиуса. Так как у нас правильный треугольник, центральный угол его стороны будет 60 градусов или \( \frac{{\pi}}{{3}} \) радиан.

\[ \frac{{\pi}}{{2}} = r \cdot \frac{{\pi}}{{3}} \]

Решим это уравнение для радиуса \( r \):
\[ r = \frac{{\frac{{\pi}}{{2}}}}{{\frac{{\pi}}{{3}}}} = \frac{{3}}{{2}} \text{ см} \]

Таким образом, радиус описанной окружности вокруг правильного шестиугольника равен \( \frac{{3}}{{2}} \) см.

2. Теперь найдем высоту правильного треугольника, вписанного в эту окружность:
Зная, что вписанный угол в правильный треугольник составляет 60 градусов или \( \frac{{\pi}}{{3}} \) радиан, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса.

Синус угла в вписанном треугольнике равен отношению противоположной стороны (высоты) к гипотенузе (радиусу окружности).

\[ \sin\left(\frac{{\pi}}{{3}}\right) = \frac{{\text{{высота}}}}{{\text{{радиус окружности}}}} \]

Мы уже знаем, что радиус окружности равен \( \frac{{3}}{{2}} \) см.

\[ \sin\left(\frac{{\pi}}{{3}}\right) = \frac{{h}}{{\frac{{3}}{{2}}}} \]

Решим это уравнение для высоты \( h \):
\[ h = \sin\left(\frac{{\pi}}{{3}}\right) \cdot \frac{{3}}{{2}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \cdot \frac{{3}}{{2}} = \frac{{3\sqrt{3}}}{{4}} \text{ см} \]

Таким образом, высота правильного треугольника, который вписан в описанную окружность вокруг правильного шестиугольника, равна \( \frac{{3\sqrt{3}}}{{4}} \) см.

Я надеюсь, что решение было полным и понятным!