1) Докажите, что никакие три точки на окружности не находятся на одной прямой. 2) Каково количество общих точек прямой

1) Чтобы доказать, что никакие три точки на окружности не находятся на одной прямой, мы можем использовать доказательство от противного. Предположим, что есть три точки \( A, B \) и \( C \) на окружности, которые лежат на одной прямой.

Пусть \( O \) - центр окружности. Рассмотрим отрезки \( OA \), \( OB \) и \( OC \). Так как эти отрезки являются радиусами окружности, они имеют одинаковую длину.

Также, поскольку точки \( A \), \( B \) и \( C \) лежат на одной прямой, отрезки \( AB \) и \( BC \) можно считать как один отрезок \( AC \). Таким образом, у нас есть два равных отрезка - \( OA \) и \( AC \).

Но это означает, что у нас есть два равных расстояния от центра окружности \( O \) до правой точки \( A \), что противоречит определению окружности. Радиус окружности должен быть равен расстоянию от ее центра до любой ее точки.

Следовательно, мы пришли к противоречию и предположение о том, что три точки на окружности лежат на одной прямой, неверно. Таким образом, эта теорема доказана.

2) Количество общих точек прямой и окружности зависит от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от центра окружности до прямой. Рассмотрим следующие случаи:

- Если расстояние от центра окружности до прямой больше, чем радиус окружности, то прямая не пересекает окружность, и, следовательно, количество общих точек равно 0.
- Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая касается окружности в одной точке. Количество общих точек равно 1.
- Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность в двух точках. Количество общих точек равно 2.

3) Термин "секущая" относительно окружности означает прямую линию, которая пересекает окружность в двух различных точках.

4) Термин "касательная" относительно окружности означает прямую линию, которая касается окружности в одной единственной точке. Эта точка называется "точкой касания".

5) Теорема о свойстве касательной утверждает, что прямая, касающаяся окружности в точке \( P \), перпендикулярна радиусу, проведенному в этой точке.

Доказательство этой теоремы можно провести следующим образом:
Предположим, что у нас есть окружность с центром \( O \) и радиусом \( r \), а также прямая \( l \), которая касается окружности в точке \( P \).
Проведем радиус \( OP \) к точке касания \( P \).
От противного, предположим, что прямая \( l \) не является перпендикулярной к радиусу \( OP \).
Тогда у нас есть треугольник \( \triangle OPA \), где \( \angle OPA \) не равен 90 градусам.
Но это противоречит свойству касательной, поскольку касательная всегда перпендикулярна радиусу в точке касания.
Следовательно, предположение о том, что прямая \( l \) не является перпендикулярной к радиусу \( OP \), неверно, и теорема доказана.

6) Чтобы доказать, что отрезки, проведенные от одной точки, являющейся точкой касания, и составляющие углы с прямой, равны между собой, мы можем использовать следующее рассуждение:

Пусть у нас есть окружность с центром \( O \) и радиусом \( r \), а также прямая \( l \), которая касается окружности в точке \( P \). Проведем два отрезка, \( PA \) и \( PB \), от точки касания \( P \) до произвольных точек на прямой \( l \).

Теперь рассмотрим два треугольника: \( \triangle OPA \) и \( \triangle OPB \). Обратим внимание, что эти треугольники имеют общую сторону \( OP \).

Также мы знаем, что \( \angle OPA \) и \( \angle OPB \) равны 90 градусов. Ведь луч \( OA \) и луч \( OB \) являются радиусами окружности и, следовательно, перпендикулярны к касательной в точке \( P \).

Теперь, чтобы доказать, что отрезки \( PA \) и \( PB \) равны между собой, достаточно доказать, что треугольники \( \triangle OPA \) и \( \triangle OPB \) являются равными по двум сторонам и углу между ними.

Как было сказано выше, у этих треугольников есть общая сторона \( OP \). Также, поскольку радиус окружности имеет одинаковую длину, имеем: \( OP = OP \).

Кроме того, у нас есть равные углы: \( \angle OPA = \angle OPB = 90^\circ \).

Таким образом, по принципу равных сторон и равных углов, мы можем заключить, что треугольники \( \triangle OPA \) и \( \triangle OPB \) равны.

Следовательно, отрезки \( PA \) и \( PB \) равны между собой.