Каков радиус описанной окружности вокруг этого квадрата, если радиус вписанной окружности равен 24√2?

Чтобы найти радиус описанной окружности вокруг квадрата, мы можем воспользоваться следующими свойствами геометрии.

1. Радиус вписанной окружности равен половине диагонали квадрата. Обозначим диагональ квадрата через \(d\).

2. Радиус описанной окружности равен половине диагонали описанного вокруг квадрата прямоугольника. Обозначим диагональ описанного вокруг квадрата прямоугольника через \(D\).

Итак, для начала найдём значение диагонали квадрата (\(d\)). Так как радиус вписанной окружности равен \(24\sqrt{2}\), то диагональ квадрата (\(d\)) равна удвоенному значению радиуса вписанной окружности. То есть:

\[d = 2 \times 24\sqrt{2} = 48\sqrt{2}\]

Теперь, когда у нас есть значение диагонали квадрата (\(d\)), мы можем найти значение диагонали описанного вокруг квадрата прямоугольника (\(D\)). По теореме Пифагора, диагональ квадрата (\(d\)) является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором другие две стороны равны длине стороны квадрата (\(a\)).

Применяя теорему Пифагора, получим:

\[D^2 = d^2 + a^2\]

Так как сторона квадрата равна длине радиуса вписанной окружности (\(a = 24\sqrt{2}\)), подставляем значения и находим:

\[D^2 = (48\sqrt{2})^2 + (24\sqrt{2})^2\]

\[D^2 = 2304 + 576 = 2880\]

Для нахождения радиуса описанной окружности, возьмем половину диагонали описанного вокруг квадрата прямоугольника (\(D\)) и получим:

\[R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{2880}}{2} = \frac{24\sqrt{10}}{2} = 12\sqrt{10}\]

Итак, радиус описанной окружности вокруг данного квадрата составляет \(12\sqrt{10}\).