Какое уравнение соответствует прямой, которая параллельна y = −6x − 1 и проходит через центр окружности

Чтобы найти уравнение прямой, параллельной заданной прямой \(y = -6x - 1\) и проходящей через центр окружности \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 5 = 0\), мы воспользуемся несколькими свойствами.

1. Найдем центр окружности. Уравнение окружности записано в общем виде \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 5 = 0\). Чтобы привести его к каноническому виду, давайте проведем полный квадрат для переменных \(x\) и \(y\). Разделим уравнение на 2 и перепишем его следующим образом:

\[
(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = -5
\]

Закончим квадрат, добавив и вычтя квадраты половин коэффициентов перед \(x\) и \(y\):

\[
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = -5 + 4 + 9
\]

Упростим:

\[
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 8
\]

Из этого равенства видно, что центр окружности находится в точке с координатами \((2, -3)\).

2. Теперь мы знаем, что проходящая через центр окружности прямая должна быть параллельна данной прямой \(y = -6x - 1\). Параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Из уравнения \(y = -6x - 1\) видно, что наклон этой прямой равен -6.

3. Мы можем использовать найденный наклон и координаты центра окружности, чтобы составить уравнение искомой прямой в виде \(y = mx + b\), где \(m\) - наклон, а \(b\) - свободный член.

Так как прямая проходит через центр окружности \((2, -3)\), мы можем подставить эти значения и наклон -6 в уравнение \(y = mx + b\):

\[
-3 = -6 \cdot 2 + b
\]

\[
-3 = -12 + b
\]

Сложим 12 к обеим сторонам уравнения:

\[
-3 + 12 = b
\]

\[
9 = b
\]

Итак, получили, что свободный член \(b\) равен 9.

Таким образом, уравнение прямой, параллельной прямой \(y = -6x - 1\) и проходящей через центр окружности \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 5 = 0\), будет иметь вид:

\[
y = -6x + 9
\]

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять процесс решения этой задачи! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.