Каков радиус описанной окружности треугольника ABC, если сторона AB равна 3✓2 и угол C равен 135°?

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника ABC, мы можем использовать формулу радиуса окружности, вписанной в треугольник. Формула выглядит следующим образом:

\[ R = \frac{{abc}}{{4S}} \]

где R - радиус описанной окружности, a, b и c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Для начала, найдем площадь треугольника ABC. Мы можем использовать формулу для площади треугольника, которая выглядит так:

\[ S = \frac{{1}}{{2}} \cdot ab \cdot \sin(C) \]

где a и b - стороны треугольника, C - угол между этими сторонами.

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

1. Найдем площадь треугольника ABC:

\[ S = \frac{{1}}{{2}} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ) \]

Мы используем сторону AB, которая равна 3\(\sqrt{2}\), и угол C, который равен 135°. Синус 135° равен \(-\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\).

\[ S = \frac{{1}}{{2}} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\right) \]

Вычислим это выражение:

\[ S = \frac{{1}}{{2}} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\right) = -\frac{{27}}{{2}} \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(-\frac{{27}}{{2}}\).

2. Теперь мы можем найти радиус описанной окружности, используя найденную площадь и длины сторон треугольника:

\[ R = \frac{{abc}}{{4S}} \]

Подставим значения:

\[ R = \frac{{3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}}{{4 \cdot \left(-\frac{{27}}{{2}}\right)}} \]

Приведем это выражение к более удобному виду:

\[ R = \frac{{9 \cdot 9 \cdot \sqrt{2}}}{{-54}} \]

Упростим:

\[ R = -\frac{{9 \cdot 9 \cdot \sqrt{2}}}{{54}} \]

\[ R = -\frac{{81\sqrt{2}}}{{54}} \]

Упростим дальше, разделив числитель и знаменатель на 9:

\[ R = -\frac{{9\sqrt{2}}}{{6}} \]

\[ R = -\frac{{3\sqrt{2}}}{{2}} \]

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника ABC равен \(-\frac{{3\sqrt{2}}}{{2}}\).