Каков радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, у которого сумма катетов равна 10 см, а гипотенуза

Для решения данной задачи, давайте вначале вспомним некоторые свойства прямоугольных треугольников.

В прямоугольном треугольнике, окружность, вписанная в треугольник, касается каждой стороны треугольника. Это означает, что точка касания окружности с каждой из сторон треугольника является точкой пересечения биссектрисы угла, образованного этой стороной и гипотенузой треугольника.

Давайте обозначим радиус вписанной окружности как \(r\). Известно, что сумма катетов треугольника равна 10 см, поэтому мы можем записать следующее уравнение:

катет_1 + катет_2 = 10.

Также известно, что гипотенуза треугольника равна определенному значению. Пусть это значение равно \(c\). Тогда для нашего треугольника мы можем записать следующее уравнение Пифагора:

катет_1^2 + катет_2^2 = c^2.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для определения значения радиуса окружности, вписанной в треугольник.

Сначала решим уравнение \(катет_1 + катет_2 = 10\) относительно одной из переменных, скажем, катета 1:

катет_1 = 10 - катет_2.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

(10 - катет_2)^2 + катет_2^2 = c^2.

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим:

100 - 20катет_2 + катет_2^2 + катет_2^2 = c^2.

Упрощаем выражение:

2катет_2^2 - 20катет_2 + 100 = c^2.

На данный момент у нас есть квадратное уравнение относительно катета 2. Давайте найдем его корни, используя квадратное уравнение общего вида:

\(катет_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\)

Здесь \(a = 2\), \(b = -20\), и \(c = 100 - c^2\).

Вычислим значения корней. Подставим эти значения в уравнение \(катет_1 = 10 - катет_2\), чтобы получить значение катета 1.

После нахождения значений катетов, мы можем найти длину радиуса вписанной окружности, используя теорему Пифагора. Окружность вписана в прямоугольный треугольник и касается каждой стороны, поэтому радиус будет половиной суммы длин двух катетов, деленной на периметр треугольника:

\[r = \frac{катет_1 + катет_2 - c}{2}.\]

Теперь, чтобы получить числовой ответ, нужно знать значение гипотенузы \(c\). Пожалуйста, укажите его, и я продолжу вычисления.