Каков радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известно, что длина гипотенузы составляет 4

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, мы можем воспользоваться теоремой о вписанном угле. Эта теорема гласит, что для любого треугольника радиус окружности, вписанной в него, равен произведению полупериметра треугольника и тангенса половины одного из его углов (в данном случае острого угла). Давайте применим эту формулу, чтобы решить задачу.

Длина гипотенузы составляет 4 см. Так как прямоугольный треугольник имеет один острый угол, равный 60°, другой острый угол будет составлять 90° - 60° = 30°.

Сначала найдем полупериметр треугольника. Полупериметр (p) треугольника вычисляется по формуле:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

Где a, b и c - длины сторон треугольника, а в нашем случае a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза.

Так как гипотенуза равна 4 см, а у нас прямоугольный треугольник, то a и b могут быть равны 6 см и 2 см, или 3 см и 3 см.

Для первого случая, где a = 6 см и b = 2 см:

\[ p = \frac{6 + 2 + 4}{2} = 6 \, \text{см} \]

Для второго случая, где a = 3 см и b = 3 см:

\[ p = \frac{3 + 3 + 4}{2} = 5 \, \text{см} \]

Теперь найдем тангенс половины острого угла:

\[ \tan\left(\frac{30}{2}\right) = \tan(15) \approx 0.2679 \]

Теперь, используя найденные значения полупериметра и тангенса, найдем радиус окружности вписанной в треугольник по формуле:

\[ r = p \cdot \tan\left(\frac{30}{2}\right) \]

В первом случае (a = 6 см и b = 2 см):

\[ r = 6 \cdot 0.2679 \approx 1.6074 \, \text{см} \]

Во втором случае (a = 3 см и b = 3 см):

\[ r = 5 \cdot 0.2679 \approx 1.3395 \, \text{см} \]

Итак, радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, составляет примерно 1.61 см в первом случае и 1.34 см во втором случае.