Каков объем цилиндра, в который вписана призма с боковым ребром длиной 5/п см? Основание призмы представляет собой

Для решения этой задачи нам потребуется знать формулу для объема цилиндра. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Перед тем как мы сможем вычислить объем призмы, вписанной в цилиндр, нам необходимо найти высоту этой призмы.

Из условия задачи известно, что боковое ребро призмы имеет длину \(\frac{5}{\pi}\) см. Давайте представим, что мы могли бы увидеть этот прямоугольный треугольник, который является основанием призмы.

Мы знаем, что один из катетов прямоугольного треугольника равен 4 см, а острый угол прилежащий к этому катету равен \(\tan^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)\).

Зная значение тангенса угла, мы можем найти его значение. Тангенс угла можно выразить как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

\(\tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\)

В данной задаче противолежащий катет равен 5, а прилежащий катет равен 4. Подставив эти значения в формулу, мы получим:

\(\tan^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)\)

Вычислив эту величину, мы получаем значение острого угла.

Теперь, когда у нас есть длины двух сторон прямоугольного треугольника и значение острого угла, мы можем найти высоту призмы. Высота призмы равна произведению катета на синус острого угла прилежащего к нему.

\(\text{Высота} = \text{катет} \times \sin(\text{острый угол})\)

Подставив известные значения в формулу, мы можем вычислить высоту призмы.

Теперь, когда у нас есть высота призмы, мы можем перейти к вычислению объема цилиндра.

Площадь основания цилиндра равна площади прямоугольного треугольника, что равно половине произведения катетов.

\(\text{Площадь основания} = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2\)

Подставляя значения в формулу, мы можем вычислить площадь основания.

И, наконец, находим объем цилиндра, умножая площадь основания на высоту.

\(\text{Объем цилиндра} = \text{площадь основания} \times \text{высота}\)

Ура! Мы получили ответ на задачу. Чтобы окончательно решить эту задачу, нам нужно вычислить все неизвестные значения и выполнить указанные выше математические операции.