Каков радиус окружности, описанной около правильного треугольника, если радиус вписанной окружности равен

Для решения данной задачи, давайте обратимся к свойствам правильного треугольника и связанных с ним окружностей.

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. Также, внутри правильного треугольника можно построить вписанную окружность, которая касается всех трех сторон треугольника, и описанную окружность, которая проходит через вершины треугольника.

Давайте обозначим радиус вписанной окружности через \(r\), а радиус описанной окружности через \(R\).

Свойство 1: Вписанная окружность правильного треугольника делит каждую сторону пополам. Поэтому, мы можем рассмотреть половину стороны треугольника (пусть это будет \(s\)) и пронумеровать такие стороны:

/\
/ \
s /____\ s

Свойство 2: Радиус вписанной окружности равен половине стороны треугольника, разделенной на тангенс угла между сторонами и центральным углом треугольника.

Составим тангенс угла через соотношение сторон:

\(\tan(\angle 60) = \frac{s}{r}\)

Поскольку \(\tan(\angle 60) = \sqrt{3}\), мы можем записать:

\(\sqrt{3} = \frac{s}{r} \Rightarrow s = \sqrt{3}r\)

Свойство 3: Радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника.

Таким образом, радиус описанной окружности \(R\) равен двум радиусам вписанной окружности \(r\):

\(R = 2r\)

Теперь у нас есть два уравнения:

\(s = \sqrt{3}r\)
\(R = 2r\)

Мы можем решить систему уравнений, подставив значение \(s\) из первого уравнения во второе:

\(R = 2\left(\frac{s}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2s}{\sqrt{3}}\)

Затем, заменим \(s\) на \(\sqrt{3}r\):

\(R = \frac{2\sqrt{3}r}{\sqrt{3}} = 2r\)

Таким образом, радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности.

Ответ: Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен двойному радиусу вписанной окружности.