Пожалуйста, составьте и решите задачи на перестановки, перемещения в соответствии с типом задач из раздела 13.7

Хорошо, я с радостью помогу вам с задачами на перестановки и перемещения!

Задача 1: В команде из 10 баскетболистов тренер выбирает 5 человек для основного состава. Сколькими способами он может сделать это?

Обоснование: Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для количества сочетаний. Формула сочетаний из n элементов по k элементов записывается как \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\), где \(n!\) обозначает факториал числа n. В данном случае у нас есть 10 баскетболистов, и мы выбираем 5 из них. Поэтому мы можем записать:

\[C(10, 5) = \frac{{10!}}{{5!(10-5)!}}\]

Решение: Вычислим это значение:

\[
C(10, 5) = \frac{{10!}}{{5! \cdot 5!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 252
\]

Ответ: Тренер может выбрать основной состав из 10 баскетболистов 252 способами.

Задача 2: В городе есть 8 различных кампусов университета, и студент хочет посетить 3 из них. Сколькими способами он может это сделать?

Обоснование: Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для количества размещений. Формула размещений из n элементов по k элементов записывается как \(A(n, k) = \frac{{n!}}{{(n-k)!}}\), где \(n!\) обозначает факториал числа n. В данном случае у нас есть 8 кампусов, и студент хочет посетить 3 из них. Поэтому мы можем записать:

\[A(8, 3) = \frac{{8!}}{{(8-3)!}}\]

Решение: Вычислим это значение:

\[
A(8, 3) = \frac{{8!}}{{5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5!}} = 336
\]

Ответ: Студент может посетить 3 кампуса из 8 возможных способами.

Задача 3: В школьной столовой 5 мест. Сколькими способами 5 друзей могут занять эти места?

Обоснование: В этой задаче нам нужно найти количество перестановок, так как каждый друг может занять только одно место. Чтобы найти количество перестановок, мы можем использовать формулу для вычисления факториала числа. Факториал числа n обозначается как \(n!\) и представляет умножение всех натуральных чисел от 1 до n. В данном случае у нас есть 5 друзей и 5 мест. Поэтому мы можем записать:

\[5!\]

Решение: Вычислим это значение:

\[5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\]

Ответ: 5 друзей могут занять 5 мест в столовой 120 способами.

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам понять задачи на перестановки и перемещения! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.