В четырехугольной пирамиде SABCD с правильным основанием сторона AB равна 24, а боковое ребро SA равно 22. На ребрах

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства четырехугольной пирамиды и перпендикулярности плоскостей. Давайте рассмотрим каждую часть задачи отдельно.

а) Докажем, что точка С лежит на плоскости а. Мы знаем, что плоскость а перпендикулярна плоскости ABC. Так как ABC - правильное основание четырехугольной пирамиды, то все его стороны и углы равны между собой. Пусть точка К" - проекция точки К на плоскость ABC. Тогда получим прямоугольный треугольник K"BC с прямым углом при точке К".

Мы знаем, что ребро SA равно 22. В правильном многоугольнике SABCD угол SAB равен 90 градусов. Значит, получаем прямоугольный треугольник SBA с прямым углом при точке B.

Рассмотрим прямоугольные треугольники SBA и K"BC. У них два общих угла: угол B и прямой угол в точке B. По свойству прямоугольных треугольников, у них равны соответствующие углы и они подобны. Значит, отношение соответствующих сторон треугольников равно:

\(\frac{{K"B}}{{SB}} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{24}}{{24}} = 1\).

Так как величина K"B равна SB, это означает, что точка B лежит в плоскости а. Таким же образом можно показать, что точка M также лежит на плоскости а. Так как точки B и M лежат в плоскости а, то и точка С также будет лежать на этой плоскости.

б) Теперь найдем угол между плоскостью а и прямой SA. Для этого нам понадобится использовать понятие скалярного произведения векторов.

Пусть векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) соответствуют сторонам треугольника ABC. Так как у нас правильное основание, то эти векторы будут равны по модулю и направлены в противоположные стороны: \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{BC}\).

Теперь рассмотрим вектор \(\overrightarrow{n}\), перпендикулярный плоскости а. Поскольку а перпендикулярна плоскости ABC, то вектор \(\overrightarrow{n}\) будет коллинеарен ее нормали, т.е. вектору \(\overrightarrow{BA}\):
\(\overrightarrow{n} = k \cdot \overrightarrow{BA}\), где k - некоторая константа.

Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{SA}\) и \(\overrightarrow{n}\):
\(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SA} \cdot (k \cdot \overrightarrow{BA}) = k \cdot \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BA}\).

Угол между векторами \(\overrightarrow{SA}\) и \(\overrightarrow{BA}\) равен 90 градусов (плоскость а перпендикулярна плоскости ABC), поэтому их скалярное произведение будет равно нулю: \(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BA} = 0\).

Таким образом, \(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n} = k \cdot 0 = 0\). Получаем, что скалярное произведение равно нулю. Из свойств скалярного произведения следует, что произведение модулей векторов на косинус угла между ними равно нулю. Если произведение равно нулю, то либо хотя бы один из векторов нулевой, либо косинус угла между векторами равен нулю. В данном случае, скалярное произведение равно нулю, значит, косинус угла между векторами равен нулю.

Из определения косинуса угла между векторами следует, что косинус равен нулю только при угле 90 градусов: \(\cos(\alpha) = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ\).

Таким образом, угол между плоскостью а и прямой SA равен 90 градусов.

Ответ:
а) Точка С лежит на плоскости а.
б) Угол между плоскостью а и прямой SA равен 90 градусов.