Каков радиус окружности, которая проходит через вершину, середину противоположной стороны и центр равностороннего

Для начала, давайте рассмотрим свойства равностороннего шестиугольника и его вписанной окружности. В равностороннем шестиугольнике все стороны и углы равны между собой. Также, центр вписанной окружности совпадает с центром шестиугольника, а радиус вписанной окружности равен \( r \), где \( r \) - это искомый радиус объяснения.

Теперь давайте проведем несколько линий и обозначим точки для удобства объяснения. Пусть \( O \) будет центром шестиугольника и вписанной окружности, \( A \) - одной из вершин шестиугольника, \( M \) - серединной точкой противоположной стороны шестиугольника, \( B \) - точкой, где вписанная окружность пересекает эту сторону.
Теперь у нас есть треугольники \( OAB \) и \( OMB \), их мы рассмотрим, чтобы найти радиус.

Треугольник \( OAB \) - равносторонний, поэтому все его углы равны 60 градусам. От центра окружности \( O \) проведем линию до точки \( B \) и обозначим ее как отрезок \( OB \). Также, проведем линию от точки \( B \) до точки \( M \), обозначим ее как отрезок \( BM \).
Заметим, что в треугольнике \( OMB \) угол \( OMB \) - это половина угла \( OAB \). То есть, угол \( OMB \) равен 30 градусам.

Из свойств треугольника \( OMB \) мы знаем, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Поэтому мы можем записать:
\[
\sin(30^\circ) = \frac{BM}{OM}
\]
Мы знаем, что синус 30 градусов равен \(\frac{1}{2}\), поэтому у нас есть:
\[
\frac{1}{2} = \frac{BM}{OM}
\]
Теперь мы хотим найти отношение \( \frac{BM}{OM} \), чтобы определить его значение.

Обратимся к треугольнику \( OAB \). Мы знаем, что угол \( OAB \) - это 60 градусов. Также, у нас есть \( AM \), который является серединой стороны \( A \) и \( BM \), поэтому \( AM \) равно \( \frac{AB}{2} \). Используя теорему косинусов, мы можем записать:
\[
OM^2 = OA^2 + AM^2 - 2 \cdot OA \cdot AM \cdot \cos(60^\circ)
\]
Но мы знаем, что равносторонний треугольник имеет равные стороны, и каждый угол в нем равен 60 градусам. Поэтому \( OA = AB \), и мы можем продолжить вычисления:
\[
OM^2 = OA^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 - 2 \cdot OA \cdot \frac{AB}{2} \cdot \cos(60^\circ)
\]
Подставим \( OA = AB \) и заменим \( \cos(60^\circ) \) значением \( \frac{1}{2} \):
\[
OM^2 = AB^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 - 2 \cdot AB \cdot \frac{AB}{2} \cdot \frac{1}{2}
\]
Для удобства расчетов заменим \( AB^2 \) на \( r^2 \):
\[
OM^2 = r^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2 - r^2
\]
Упрощаем:
\[
OM^2 = \frac{3r^2}{4}
\]
Теперь найдем значение \( OM \). Нам нужно найти гипотенузу треугольника \( OMB \), и у нас уже есть значение противолежащего катета \( BM \). Мы можем использовать теорему Пифагора для этого:
\[
OM^2 = BM^2 + BO^2
\]
Но у нас уже есть выражение для \( OM^2 \), поэтому мы можем переписать его:
\[
\frac{3r^2}{4} = BM^2 + (r^2 - BM)^2
\]
Упрощаем и раскрываем скобки:
\[
\frac{3r^2}{4} = BM^2 + r^4 + BM^2 - 2BM \cdot r^2
\]
Объединяем слагаемые и упрощаем:
\[
\frac{3r^2}{4} = 2BM^2 + r^4 - 2BM \cdot r^2
\]
Повторно упрощаем:
\[
0 = 2BM^2 + r^4 - \frac{5r^2}{2} \cdot BM
\]
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \( BM \):
\[
2BM^2 - \frac{5r^2}{2} \cdot BM + r^4 = 0
\]
Мы можем решить это уравнение, используя квадратную формулу:
\[
BM = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Где:
\( a = 2 \),
\( b = -\frac{5r^2}{2} \),
\( c = r^4 \).

Подставляем значения и решаем:
\[
BM = \frac{\frac{5r^2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{5r^2}{2}\right)^2 - 4 \cdot 2 \cdot r^4}}{4}
\]

Поскольку мы ищем радиус, который является положительным числом, мы выбираем положительное значение знака перед корнем. Упрощаем выражение:
\[
BM = \frac{\frac{5r^2}{2} + \sqrt{\left(\frac{5r^2}{2}\right)^2 - 8 \cdot r^4}}{4} = \frac{5r^2 + 2\sqrt{5r^4 - 16r^4}}{8}
\]
\[
BM = \frac{5r^2 + 2\sqrt{-11r^4}}{8}
\]

Теперь у нас есть значение \( BM \). По условию, вписанная окружность соприкасается с противоположной стороной, поэтому \( BM \) равно половине длины этой стороны. У нас также есть отношение \( \frac{BM}{OM} \), равное \( \frac{1}{2} \). Мы можем использовать это, чтобы найти \( OM \):
\[
\frac{BM}{OM} = \frac{1}{2}
\]
\[
\frac{\frac{5r^2 + 2\sqrt{-11r^4}}{8}}{OM} = \frac{1}{2}
\]
Перекрестно умножаем и упрощаем:
\[
\frac{5r^2 + 2\sqrt{-11r^4}}{8} \cdot 2 = OM
\]
\[
OM = \frac{5r^2}{8} + \frac{\sqrt{-11r^4}}{4}
\]

Теперь, чтобы найти радиус окружности, мы должны приравнять \( OM \) к радиусу \( r \):
\[
\frac{5r^2}{8} + \frac{\sqrt{-11r^4}}{4} = r
\]

Если мы рационализируем выражение и упрощаем, мы получим квадратное уравнение относительно \( r \):
\[
11r^4 - 64r^2 = 0
\]

Факторизуя выражение, мы можем записать:
\[
r^2(11r^2 - 64) = 0
\]

Продолжая решение, мы видим, что одним из решений является \( r^2 = 0 \), что невозможно для радиуса окружности. Поэтому мы рассматриваем решение \( 11r^2 - 64 = 0 \):
\[
11r^2 = 64
\]
\[
r^2 = \frac{64}{11}
\]
\[
r = \sqrt{\frac{64}{11}}
\]

Таким образом, радиус окружности, проходящей через вершину, середину противоположной стороны и центр равностороннего шестиугольника с вписанной окружностью радиуса \( r \), равен \( \sqrt{\frac{64}{11}} \).