Каково отношение объемов двух цилиндров, полученных вращением прямоугольника вокруг каждой из его сторон

Чтобы определить отношение объемов двух цилиндров, полученных вращением прямоугольника вокруг каждой из его сторон, мы сначала должны понять, какие формулы нужно использовать для расчета объемов цилиндров.

Объем цилиндра можно вычислить по формуле:

\[V = \pi r^2 h\]

где \(\pi\) - это математическая константа, равная примерно 3,14, \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра.

Итак, мы должны определить значения радиусов и высот каждого из цилиндров, чтобы вычислить их объемы.

Представим, что у нас есть прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\). Если мы вращаем этот прямоугольник вокруг одной из его сторон \(a\), мы получим цилиндр с радиусом \(a/2\) и высотой \(b\).

Таким образом, объем этого цилиндра будет:

\[V_1 = \pi (a/2)^2 b\]

Если же мы вращаем такой же прямоугольник вокруг другой его стороны \(b\), то получим цилиндр с радиусом \(b/2\) и высотой \(a\).

Объем этого второго цилиндра будет:

\[V_2 = \pi (b/2)^2 a\]

Мы имеем значения для \(V_1\) и \(V_2\) в зависимости от сторон прямоугольника \(a\) и \(b\). Теперь мы можем выразить отношение объемов двух цилиндров:

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi (a/2)^2 b}{\pi (b/2)^2 a}\]

Обратите внимание, что \(\pi\) сокращается в числителе и знаменателе формулы, поэтому можем его опустить:

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{(a/2)^2 b}{(b/2)^2 a}\]

Далее мы можем упростить выражение, раскрыв скобки и сократив общие члены:

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{(a^2/4) b}{(b^2/4) a} = \frac{a^2 b}{b^2 a} = \frac{a}{b}\]

Таким образом, отношение объемов двух цилиндров, полученных вращением прямоугольника вокруг каждой из его сторон, равно \(\frac{a}{b}\).

Важно отметить, что данное отношение не зависит от конкретных значения радиуса или высоты каждого цилиндра, а зависит только от соотношения размеров исходного прямоугольника.