Каков радиус окружности, которая описывает квадрат со стороной 4√2? Каков радиус окружности, вписанной в этот квадрат?

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать свойства квадрата и окружности.

Для начала, давайте найдем радиус окружности, описывающей данный квадрат. Радиус описывающей окружности равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти с помощью теоремы Пифагора, так как в данном случае сторона квадрата равна 4√2.

По теореме Пифагора: в квадрате гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза - это диагональ квадрата, которая образует прямоугольный треугольник с двумя катетами, равными его сторонам.

Подставляем известные значения в формулу:

\(c^2 = a^2 + b^2\),
где c - диагональ квадрата (гипотенуза), a и b - стороны квадрата.

Подставляя значения, получаем:

\(c^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2\).

Вычисляем:

\(c^2 = 32 + 32 = 64\).

Теперь возьмем квадратный корень из 64, чтобы найти значение диагонали или радиуса описывающей окружности:

\(c = \sqrt{64} = 8\).

Таким образом, радиус окружности, описывающей данный квадрат, равен 8.

Теперь перейдем к нахождению радиуса окружности, вписанной в данный квадрат. Для этого нам понадобится знать, что центр вписанной окружности совпадает с центром квадрата и что радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.

Так как сторона квадрата равна 4√2, то радиус окружности, вписанной в данный квадрат, будет:

\(r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\).

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный квадрат, равен 2√2.