1) Если провести линию, перпендикулярную и наклонную к плоскости из точки вне ее, то... а) перпендикуляр будет длиннее

а) угол между наклонной и перпендикуляром ко всему плоскости; б) угол между наклонной и любой прямой на плоскости; в) угол между наклонной и ее проекцией на плоскость; г) угол между наклонной и проекцией перпендикуляра на плоскость.

Ответы:
1) Приведенные утверждения неверны. Если провести линию, перпендикулярную и наклонную к плоскости из точки вне ее, то эти две линии будут иметь одинаковую длину.
Обоснование: Представьте, что мы проводим линию из точки A, находящейся вне плоскости, до точки B на плоскости. Затем мы проводим перпендикуляр от точки B до плоскости и проводим наклонную линию от точки A до точки C на плоскости. Треугольник ABC будет прямоугольным, где AB - гипотенуза (длина перпендикуляра) и AC - катет (длина наклонной). С помощью теоремы Пифагора можно установить, что AB и AC будут равны.

2) Прямая параллельна плоскости, если они перпендикулярны одной и той же прямой.
Обоснование: Если прямая и плоскость пересекаются, то у них обязательно найдется точка пересечения. Если прямая и плоскость параллельны, то они не пересекаются ни в какой точке. Поэтому, условие, что они перпендикулярны одной и той же прямой, определяет параллельность прямой и плоскости.

3) Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между наклонной и проекцией перпендикуляра на плоскость.
Обоснование: Плоскость и наклонная линия могут пересекаться под разными углами. Однако, чтобы измерить угол между наклонной и плоскостью, мы должны взять перпендикуляр от проекции наклонной на плоскость. Этот перпендикуляр будет образовывать угол с наклонной, и этот угол и называется углом между наклонной и плоскостью.