Каков радиус окружности, если периметр вписанного в нее правильного четырехугольника меньше периметра правильного

Для решения данной задачи давайте разберемся с некоторыми основными понятиями. Правильный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все стороны равны, и все углы тоже равны. Периметр четырехугольника - это сумма длин всех его сторон.

Пусть r - радиус окружности, в которую вписан правильный четырехугольник. Тогда, сторона вписанного вокруг нее четырехугольника будет равна диаметру окружности, то есть 2r.

Также, пусть R - радиус окружности, описанной вокруг этой же окружности. Сторона описанного четырехугольника будет равна диаметру описанной окружности, то есть 2R.

Периметр четырехугольника равен произведению длины стороны на количество сторон. Так как в нашем случае оба четырехугольника являются правильными, мы можем записать формулы для периметра:

Пусть P1 - периметр вписанного четырехугольника, а P2 - периметр описанного четырехугольника. Тогда:

P1 = 4 * 2r = 8r
P2 = 4 * 2R = 8R

По условию задачи, мы знаем, что периметр вписанного четырехугольника меньше периметра описанного на 16*(корень из двух минус 1. Поэтому, мы можем записать следующее уравнение:

P2 - P1 = 16*(√2 - 1)

Заменим значения периметров:

8R - 8r = 16*(√2 - 1)

Теперь найдем радиус окружности, исключив из уравнения радиус R. Радиус R можно выразить через радиус r с использованием свойства соотношения радиусов описанной и вписанной окружности в правильном многоугольнике. По этому свойству, отношение радиуса окружности описанного четырехугольника к радиусу окружности вписанного четырехугольника равно (√2 + 1).

R = r*(√2 + 1)

Теперь заменим значение R в уравнении:

8*(r*(√2 + 1)) - 8r = 16*(√2 - 1)

8r*√2 + 8r - 8r = 16√2 - 16

8r*√2 = 16√2 - 16

Теперь разделим обе части уравнения на 8*√2:

r = (16√2 - 16) / (8√2)

Теперь выполним вычисления:

r = (16/8)*(√2 - 1)
r = 2*(√2 - 1)

Таким образом, радиус окружности равен 2*(√2 - 1).