Каков промежуток, на котором функция y=sin2x-x возрастает? (x принадлежит отрезку

Для решения задачи, нам необходимо найти интервалы, на которых функция \(y = \sin^2 x - x\) возрастает. Чтобы найти эти интервалы, мы должны найти значения x, при которых производная функции положительна.

Давайте начнем с вычисления производной функции \(y = \sin^2 x - x\). Для этого мы применим правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования разности функций.

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(\sin^2 x) - \frac{{d}}{{dx}}(x)\]

По правилу дифференцирования сложной функции, \(\frac{{d}}{{dx}}(\sin^2 x) = 2\sin x \cdot \cos x\).

А производная \(x\) равна 1.

Теперь у нас есть выражение для производной функции, а это \(2\sin x \cdot \cos x - 1\).

Чтобы найти интервалы возрастания, мы должны решить неравенство \(\frac{{dy}}{{dx}} > 0\).

\[2\sin x \cdot \cos x - 1 > 0\]

Мы можем разбить неравенство на две части:

\[2\sin x \cdot \cos x > 1\]

Это неравенство выполнится, если оба множителя \(2\sin x\) и \(\cos x\) будут положительными, или если один из них будет равен нулю.

Рассмотрим каждую из этих ситуаций:

1. Если \(2\sin x > 0\) и \(\cos x > 0\), то \(\sin x > 0\) и \(\cos x > 0\).

В этом случае, \(\sin x\) и \(\cos x\) положительны в первой и второй четверти на координатной плоскости.

2. Если \(2\sin x < 0\) и \(\cos x < 0\), то \(\sin x < 0\) и \(\cos x < 0\).

В этом случае, \(\sin x\) и \(\cos x\) отрицательны в третьей и четвертой четверти на координатной плоскости.

3. Если \(\sin x = 0\) и \(\cos x = 0\), то

В этом случае, \(\sin x\) и \(\cos x\) равны нулю в точке нуля и в точке \(\pi\).

Теперь у нас есть три особых точки - \(0\), \(\pi\) и бесконечность, и мы можем построить таблицу для обозначения интервалов возрастания функции \(y = \sin^2 x - x\).

|x| |0 | \(\pi\) | \(\infty\) |
|y" | -1 | 1 | |

Из таблицы видно, что функция возрастает при \(0 < x < \pi\).

Таким образом, промежуток возрастания функции \(y = \sin^2 x - x\) на отрезке от \(0\) до \(\pi\).