Каков промежуток, на котором функция y=sin2x-x возрастает? (x принадлежит отрезку

Для решения задачи, нам необходимо найти интервалы, на которых функция $y={\sin }^{2}x-x$ возрастает. Чтобы найти эти интервалы, мы должны найти значения x, при которых производная функции положительна.

Давайте начнем с вычисления производной функции $y={\sin }^{2}x-x$. Для этого мы применим правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования разности функций.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}({\sin }^{2}x)-\frac{d}{dx}(x)$$

По правилу дифференцирования сложной функции, $\frac{d}{dx}({\sin }^{2}x)=2\sin x\cdot \cos x$.

А производная $x$ равна 1.

Теперь у нас есть выражение для производной функции, а это $2\sin x\cdot \cos x-1$.

Чтобы найти интервалы возрастания, мы должны решить неравенство $\frac{dy}{dx}>0$.

$$2\sin x\cdot \cos x-1>0$$

Мы можем разбить неравенство на две части:

$$2\sin x\cdot \cos x>1$$

Это неравенство выполнится, если оба множителя $2\sin x$ и $\cos x$ будут положительными, или если один из них будет равен нулю.

Рассмотрим каждую из этих ситуаций:

1. Если $2\sin x>0$ и $\cos x>0$, то $\sin x>0$ и $\cos x>0$.

В этом случае, $\sin x$ и $\cos x$ положительны в первой и второй четверти на координатной плоскости.

2. Если $2\sin x<0$ и $\cos x<0$, то $\sin x<0$ и $\cos x<0$.

В этом случае, $\sin x$ и $\cos x$ отрицательны в третьей и четвертой четверти на координатной плоскости.

3. Если $\sin x=0$ и $\cos x=0$, то

В этом случае, $\sin x$ и $\cos x$ равны нулю в точке нуля и в точке $\pi$.

Теперь у нас есть три особых точки - $0$, $\pi$ и бесконечность, и мы можем построить таблицу для обозначения интервалов возрастания функции $y={\sin }^{2}x-x$.

|x| |0 | $\pi$ | $\mathrm{\infty }$ |
|y" | -1 | 1 | |

Из таблицы видно, что функция возрастает при $0<x<\pi$.

Таким образом, промежуток возрастания функции $y={\sin }^{2}x-x$ на отрезке от $0$ до $\pi$.