Каков предел последовательности (an), где n-ый член задается формулой an=-2n?

Чтобы найти предел последовательности, выраженной формулой \(-2n\), мы можем применить определение предела. Предел последовательности представляет собой число, к которому стремятся ее члены при n, стремящемся к бесконечности.

Для начала, нам нужно записать первые несколько членов последовательности, чтобы увидеть ее закономерность. Подставим n = 1, 2, 3 и 4 в формулу:

\[a_1 = -2 \cdot 1 = -2\]
\[a_2 = -2 \cdot 2 = -4\]
\[a_3 = -2 \cdot 3 = -6\]
\[a_4 = -2 \cdot 4 = -8\]

Мы видим, что каждый следующий член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на -2. Исходя из этого наблюдения, можно предположить, что все члены последовательности будут получаться путем умножения n на -2.

Теперь давайте проверим наше предположение, используя пределы. Поскольку мы хотим найти предел последовательности, когда n стремится к бесконечности, мы можем записать выражение предела следующим образом:

\[\lim_{{n \to \infty}} -2n\]

Мы можем вынести -2 за пределы выражения, поскольку это константа:

\[-2 \cdot \lim_{{n \to \infty}} n\]

Теперь нам нужно разобраться с пределом \(\lim_{{n \to \infty}} n\). Когда n стремится к бесконечности, n также становится бесконечно большим числом. То есть, предел \(\lim_{{n \to \infty}} n\) равен бесконечности.

Итак, мы можем записать предел последовательности как:

\[\lim_{{n \to \infty}} -2n = -2 \cdot \lim_{{n \to \infty}} n = -2 \cdot \infty = -\infty\]

Таким образом, предел последовательности \(an = -2n\) при n, стремящемся к бесконечности, равен минус бесконечности (\(-\infty\)).