Каков периметр треугольника MNK, если в треугольнике ABC точки M, N и K являются серединами сторон AB, BC

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством медиан треугольника. Согласно этому свойству, медиана треугольника делит её сторону пополам и образует с этой стороной равные по длине отрезки.

Для начала, построим треугольник ABC с заданными длинами сторон AB = 20 см, BC = 15 см и AC = 25 см:

\[\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[left] {A} -- (4,0) node[right] {C} -- (2,3) node[above] {B} -- cycle;
\draw (0,0) -- (2,1.5) node[left] {M};
\draw (4,0) -- (3,1.5) node[right] {N};
\draw (2,3) -- (1,1.5) node[above left] {K};

\draw[dashed] (2,1.5) -- (3,1.5);
\draw[dashed] (2,1.5) -- (1,1.5);

\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=5pt}] (0,0) -- (2,1.5) node[midway, left, xshift=-8pt] {$\frac{1}{2}AB$};
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=5pt}] (2,1.5) -- (4,0) node[midway, right, xshift=8pt] {$\frac{1}{2}AC$};
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=5pt}] (2,1.5) -- (2,3) node[midway, right, xshift=8pt] {$\frac{1}{2}BC$};
\end{tikzpicture}
\end{equation*}\]

По условию задачи, точка M является серединой стороны AB, и длина отрезка AM равна половине длины стороны AB, то есть \(\frac{1}{2}AB\). Аналогично, точка N является серединой стороны BC, и длина отрезка BN равна половине длины стороны BC, то есть \(\frac{1}{2}BC\). Наконец, точка K является серединой стороны AC, и длина отрезка CK равна половине длины стороны AC, то есть \(\frac{1}{2}AC\).

Зная все это, мы можем записать равенства:

\(\frac{1}{2}AB = AM\)

\(\frac{1}{2}BC = BN\)

\(\frac{1}{2}AC = CK\)

Теперь можем найти длины отрезков AM, BN и CK. Подставим известные значения длин сторон:

\(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(20) = 10 \, \text{см}\)

\(\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(15) = 7.5 \, \text{см}\)

\(\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(25) = 12.5 \, \text{см}\)

Таким образом, мы получили длины отрезков AM, BN и CK:

AM = 10 см

BN = 7.5 см

CK = 12.5 см

Искомый периметр треугольника MNK можно получить, просуммировав длины всех трех его сторон:

ПМ = ПН + НК + КМ

AM + BN + CK

10 см + 7.5 см + 12.5 см

20 см.

Таким образом, периметр треугольника MNK равен 20 см.