1) Каково отношение длины стороны квадрата к длине стороны правильного треугольника, описанного около

Решение:

1) Для начала, давайте разберемся в определениях. Длина стороны квадрата - это расстояние между двумя противоположными вершинами квадрата. Длина стороны правильного треугольника - это расстояние между двумя вершинами треугольника, которые лежат на одной его стороне.

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо установить связь между длинами сторон квадрата и правильного треугольника, описанного около той же окружности.

Рассмотрим правильный треугольник, описанный около окружности радиусом \( r \). Треугольник будет состоять из трех равных сторон, каждая из которых равна радиусу окружности. Пусть длина стороны правильного треугольника будет равна \( a \).

Теперь рассмотрим квадрат, описанный вокруг той же окружности. Каждая сторона квадрата будет касаться окружности в одной точке, а диагонали квадрата будут проходить через центр окружности. Из свойств квадрата, мы знаем, что диагонали квадрата являются в два раза длиннее его сторон. Пусть длина стороны квадрата будет равна \( b \), а длина диагонали квадрата будет равна \( d \).

Так как касательная, проведенная к окружности, и радиус окружности образуют прямой угол, то длина диагонали квадрата \( d \) будет равна двум радиусам окружности. То есть,

\[ d = 2r \]

Также, в квадрате сторона равна половине длины диагонали. То есть,

\[ b = \frac{d}{2} \]

Подставим значение \( d \) в последнее уравнение:

\[ b = \frac{2r}{2} \]

Получаем:

\[ b = r \]

Таким образом, мы можем заключить, что длина стороны квадрата равна радиусу окружности. Следовательно, отношение длины стороны квадрата к длине стороны правильного треугольника, описанного около той же окружности, равно 1:1.

2) Для решения этой задачи, нам необходимо найти отношение длин сторон правильного семиугольника и одиннадцатиугольника, описанных вокруг одной и той же окружности.

Пусть длина стороны правильного семиугольника будет равна \( a \), а длина стороны правильного одиннадцатиугольника будет равна \( b \).

Отношение длин сторон можно выразить следующим образом:

\[ \frac{a}{b} = \sqrt{\frac{n_1}{n_2}} \]

где \( n_1 \) - количество сторон семиугольника, а \( n_2 \) - количество сторон одиннадцатиугольника.

Поскольку семиугольник имеет 7 сторон, а одиннадцатиугольник имеет 11 сторон, то можем подставить значения в формулу:

\[ \frac{a}{b} = \sqrt{\frac{7}{11}} \approx 0.798 \]

Таким образом, отношение длин сторон правильного семиугольника и одиннадцатиугольника, описанных вокруг одной и той же окружности, составляет примерно 0.798.

3) Чтобы решить эту задачу, необходимо найти отношение длины окружности, вписанной в правильный шестиугольник, к длине окружности, описанной вокруг того же шестиугольника.

Пусть радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, будет равен \( r \), а радиус окружности, описанной вокруг шестиугольника, будет равен \( R \).

Отношение длин окружностей можно выразить следующим образом:

\[ \frac{L_{\text{впис.}}}{L_{\text{опис.}}} = \frac{2\pi r}{2\pi R} = \frac{r}{R} \]

Таким образом, отношение длины окружности, вписанной в правильный шестиугольник, к длине окружности, описанной вокруг того же шестиугольника, равно отношению их радиусов \( \frac{r}{R} \).

4) Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти длину окружности, вписанной в ромб со стороной 10 см, если угол в ромбе равен 120 градусам.

Ромб можно разделить на 6 равных 30-60-90 градусных треугольников. В таком треугольнике, длина гипотенузы (стороны ромба) составляет 10 см.

Используя свойства 30-60-90 градусных треугольников, мы можем найти длину стороны ромба:

\[ \text{гипотенуза} = 2 \times \text{катет} \]

\[ 10 = 2 \times \text{катет} \]

\[ \text{катет} = \frac{10}{2} = 5 \]

Таким образом, длина стороны ромба составляет 5 см.

Для расчета длины окружности, вписанной в ромб, мы можем использовать формулу:

\[ L = 2\pi r \]

где \( L \) - длина окружности, \( \pi \) - число пи (примерно 3.14), \( r \) - радиус окружности.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно найти с помощью следующего соотношения:

\[ r = \frac{\text{диагональ}}{2} \]

В ромбе с углом 120 градусов, диагонали делятся на равные части в соотношении 1:1:1. Таким образом, длина диагонали ромба будет составлять:

\[ \text{диагональ} = 2 \times \text{катет} = 2 \times 5 = 10 \]

Подставим значение диагонали в формулу для радиуса:

\[ r = \frac{10}{2} = 5 \]

Теперь, подставим значение радиуса в формулу для длины окружности:

\[ L = 2\pi \times 5 = 10\pi \approx 31.42 \]

Таким образом, длина окружности, вписанной в ромб со стороной 10 см и углом 120 градусов, составляет примерно 31.42 см.