1) Каково отношение длины стороны квадрата к длине стороны правильного треугольника, описанного около

Решение:

1) Для начала, давайте разберемся в определениях. Длина стороны квадрата - это расстояние между двумя противоположными вершинами квадрата. Длина стороны правильного треугольника - это расстояние между двумя вершинами треугольника, которые лежат на одной его стороне.

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо установить связь между длинами сторон квадрата и правильного треугольника, описанного около той же окружности.

Рассмотрим правильный треугольник, описанный около окружности радиусом $r$. Треугольник будет состоять из трех равных сторон, каждая из которых равна радиусу окружности. Пусть длина стороны правильного треугольника будет равна $a$.

Теперь рассмотрим квадрат, описанный вокруг той же окружности. Каждая сторона квадрата будет касаться окружности в одной точке, а диагонали квадрата будут проходить через центр окружности. Из свойств квадрата, мы знаем, что диагонали квадрата являются в два раза длиннее его сторон. Пусть длина стороны квадрата будет равна $b$, а длина диагонали квадрата будет равна $d$.

Так как касательная, проведенная к окружности, и радиус окружности образуют прямой угол, то длина диагонали квадрата $d$ будет равна двум радиусам окружности. То есть,

$$d=2r$$

Также, в квадрате сторона равна половине длины диагонали. То есть,

$$b=\frac{d}{2}$$

Подставим значение $d$ в последнее уравнение:

$$b=\frac{2r}{2}$$

Получаем:

$$b=r$$

Таким образом, мы можем заключить, что длина стороны квадрата равна радиусу окружности. Следовательно, отношение длины стороны квадрата к длине стороны правильного треугольника, описанного около той же окружности, равно 1:1.

2) Для решения этой задачи, нам необходимо найти отношение длин сторон правильного семиугольника и одиннадцатиугольника, описанных вокруг одной и той же окружности.

Пусть длина стороны правильного семиугольника будет равна $a$, а длина стороны правильного одиннадцатиугольника будет равна $b$.

Отношение длин сторон можно выразить следующим образом:

$$\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{n_1}{n_2}}$$

где $n_1$ - количество сторон семиугольника, а $n_2$ - количество сторон одиннадцатиугольника.

Поскольку семиугольник имеет 7 сторон, а одиннадцатиугольник имеет 11 сторон, то можем подставить значения в формулу:

$$\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{7}{11}}\approx 0.798$$

Таким образом, отношение длин сторон правильного семиугольника и одиннадцатиугольника, описанных вокруг одной и той же окружности, составляет примерно 0.798.

3) Чтобы решить эту задачу, необходимо найти отношение длины окружности, вписанной в правильный шестиугольник, к длине окружности, описанной вокруг того же шестиугольника.

Пусть радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, будет равен $r$, а радиус окружности, описанной вокруг шестиугольника, будет равен $R$.

Отношение длин окружностей можно выразить следующим образом:

$$\frac{L_{\text{впис.}}}{L_{\text{опис.}}}=\frac{2\pi r}{2\pi R}=\frac{r}{R}$$

Таким образом, отношение длины окружности, вписанной в правильный шестиугольник, к длине окружности, описанной вокруг того же шестиугольника, равно отношению их радиусов $\frac{r}{R}$.

4) Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти длину окружности, вписанной в ромб со стороной 10 см, если угол в ромбе равен 120 градусам.

Ромб можно разделить на 6 равных 30-60-90 градусных треугольников. В таком треугольнике, длина гипотенузы (стороны ромба) составляет 10 см.

Используя свойства 30-60-90 градусных треугольников, мы можем найти длину стороны ромба:

$$\text{гипотенуза}=2\times \text{катет}$$

$$10=2\times \text{катет}$$

$$\text{катет}=\frac{10}{2}=5$$

Таким образом, длина стороны ромба составляет 5 см.

Для расчета длины окружности, вписанной в ромб, мы можем использовать формулу:

$$L=2\pi r$$

где $L$ - длина окружности, $\pi$ - число пи (примерно 3.14), $r$ - радиус окружности.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно найти с помощью следующего соотношения:

$$r=\frac{\text{диагональ}}{2}$$

В ромбе с углом 120 градусов, диагонали делятся на равные части в соотношении 1:1:1. Таким образом, длина диагонали ромба будет составлять:

$$\text{диагональ}=2\times \text{катет}=2\times 5=10$$

Подставим значение диагонали в формулу для радиуса:

$$r=\frac{10}{2}=5$$

Теперь, подставим значение радиуса в формулу для длины окружности:

$$L=2\pi \times 5=10\pi \approx 31.42$$

Таким образом, длина окружности, вписанной в ромб со стороной 10 см и углом 120 градусов, составляет примерно 31.42 см.