Каков периметр треугольника, где один катет на 1/2 см больше другого, а гипотенуза равна

Чтобы найти периметр треугольника, нам необходимо знать длины всех его сторон. В данной задаче мы имеем информацию о двух катетах и гипотенузе треугольника.

Пусть один катет треугольника равен \(x\) см. Тогда другой катет будет равен \((x+1/2)\) см, так как он на \(1/2\) см больше первого катета.

Используя теорему Пифагора, мы можем выразить гипотенузу через катеты. В данном случае гипотенуза равна \(1\) см.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Мы можем записать это следующим образом:

\[x^2 + (x + 1/2)^2 = 1^2\]

Разложим это уравнение:

\[x^2 + (x^2 + x + 1/4) = 1\]

\[2x^2 + x + 1/4 = 1\]

Умножим это уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[8x^2 + 4x + 1 = 4\]

\[8x^2 + 4x - 3 = 0\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае \(a = 8\), \(b = 4\), \(c = -3\). Подставим значения в формулу и вычислим корни:

\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3)}}{2 \cdot 8}\]

\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 96}}{16}\]

\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{112}}{16}\]

\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{16}\]

Теперь, когда мы нашли значения катетов, мы можем найти длины всех трех сторон треугольника.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Для данной задачи мы можем выразить периметр следующим образом:

\[P = x + (x+1/2) + 1\]

Подставим найденные значения катетов:

\[P = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{16} + \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{16} + 1\]

\[P = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{16} + \frac{16}{16}\]

\[P = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7} + 16}{16}\]

\[P = \frac{8 \pm 4\sqrt{7}}{16}\]

\[P = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{4}\]

Таким образом, периметр треугольника равен \(\frac{2 \pm \sqrt{7}}{4}\) см.