Каков периметр прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 39 см и один катет больше другого на

Для решения этой задачи, нам нужно использовать теорему Пифагора, которая связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Дано, что гипотенуза равна 39 см.

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Обозначим длины катетов как \(a\) и \(b\). Исходя из условия, мы знаем, что один катет больше другого на некоторое число.

Поэтому, можно записать следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
a^2 + b^2 = 39^2 \\
a = b + x
\end{cases}
\]

Где \(x\) - разница в длине катетов.

Сейчас мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки. Заменим \(a\) в первом уравнении вторым уравнением:

\[
(b + x)^2 + b^2 = 39^2
\]

Раскроем скобки:

\[b^2 + 2bx + x^2 + b^2 = 39^2\]

Объединим подобные слагаемые:

\[2b^2 + 2bx + x^2 = 39^2\]

Далее, упростим уравнение и приведем его к квадратному виду:

\[x^2 + 2bx + (b^2 - 39^2) = 0\]

Теперь, мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значение \(x\):

\[D = b^2 - 4ac\]

Где \(a = 1\), \(b = 2b\), и \(c = b^2 - 39^2\).

Дискриминант равен:

\[D = (2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - 39^2)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[D = 4b^2 - 4b^2 + 4 \cdot 39^2\]

\[D = 4 \cdot 39^2\]

Теперь, мы можем найти \(x\) с помощью формулы дискриминанта:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Подставим значения и решим квадратное уравнение:

\[x = \frac{{-2b \pm \sqrt{4 \cdot 39^2}}}{{2}}\]

\[x = \frac{{-2b \pm 2 \cdot 39}}{{2}}\]

\[x = -b \pm 39\]

Таким образом, существуют два возможных значения для разницы длин катетов, \(x = -b + 39\) и \(x = -b - 39\).

Теперь мы можем найти значение периметра прямоугольного треугольника, используя найденные значения \(x\) и длины катетов:

Если \(x = -b + 39\):
\[P = a + b + c\]
\[P = (b + x) + b + c\]
\[P = 2b + x + c = 2b + (-b + 39) + 39\]
\[P = b + 78\]

Если \(x = -b - 39\):
\[P = a + b + c\]
\[P = (b + x) + b + c\]
\[P = 2b + x + c = 2b + (-b - 39) + 39\]
\[P = b - 78\]

Теперь, когда у нас есть два возможных значения для периметра \(P\), можно утверждать, что периметр прямоугольного треугольника будет \(P = b + 78\) или \(P = b - 78\), в зависимости от значения \(x\).

Пожалуйста, обратите внимание, что приведенные выкладки - всего лишь один из способов решения данной задачи. Другие методы, такие как метод замены или графический метод, также могут быть использованы для нахождения периметра треугольника.