Каков периметр правильного 5-угольника, вписанного в окружность, если периметр квадрата, описанного около этой

Для решения данной задачи, нам нужно знать связь между периметром правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность, и периметром квадрата, описанного около этой окружности.

Периметр правильного \(n\)-угольника равен произведению длины его стороны на количество сторон \(n\). В нашей задаче, у нас правильный 5-угольник.

Пусть сторона правильного 5-угольника равна \(s\). Также известно, что периметр квадрата равен \(P\).

Периметр квадрата равен четырем его сторонам, поэтому получаем уравнение:
\[P = 4s\]

Также, можно заметить, что вписанный 5-угольник разбивает окружность на 5 равных дуг. Каждая из этих дуг составляет \(360^\circ / 5 = 72^\circ\) (деградусов).

Можно использовать тригонометрические соотношения и построить прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен \(72^\circ\). При этом, можно заметить, что соответствующий катет этого треугольника равен \(s/2\).

Таким образом, можно использовать тригонометрическую функцию для определения радиуса окружности. К тому же, радиус окружности равен \(s/2\).

Используя формулу описанной окружности:
\[P = 2\pi r\]

и подставляя значение радиуса, получаем:
\[\frac{{P}}{2\pi} = \frac{{s}}{2}\]

Мы уже знаем, что \(P = 4s\), поэтому можно переписать уравнение:
\[\frac{{4s}}{2\pi} = \frac{{s}}{2}\]

Теперь, можно решить это уравнение относительно \(s\). Получаем:
\[\frac{{4s}}{2\pi} = \frac{{s}}{2} \implies s = \frac{{2P}}{4\pi}\]

Таким образом, длина стороны правильного 5-угольника, вписанного в окружность, равна \(\frac{{2P}}{4\pi}\).

И, наконец, чтобы найти периметр 5-угольника, умножаем длину стороны на количество сторон:
\[Периметр = 5 \times \frac{{2P}}{4\pi} = \frac{{5P}}{2\pi}\]

Таким образом, периметр правильного 5-угольника, вписанного в окружность, равен \(\frac{{5P}}{2\pi}\).