Каков объем треугольной призмы, вокруг которой описан цилиндр с радиусом основания 20 см и острый угол большей боковой

Для решения данной задачи нам потребуется использовать знания о геометрии и треугольниках. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

1. Начнем с построения схемы задачи. Имеется треугольная призма, вокруг которой описан цилиндр. У нас есть основание цилиндра, радиус которого равен 20 см. Также у нас есть угол между большей боковой гранью призмы и плоскостью основания призмы, который составляет 60 градусов.

2. Нам нужно определить высоту цилиндра, чтобы далее использовать ее для расчета объема призмы. Рассмотрим треугольник, образованный большей боковой гранью призмы, основанием цилиндра и отрезком, соединяющим центр цилиндра с вершиной той боковой грани призмы.

3. Отрезок, соединяющий центр цилиндра с вершиной призмы, является высотой цилиндра. Обозначим эту высоту как h. Треугольник, образованный основанием цилиндра и отрезком, соединяющим центр цилиндра с вершиной призмы, является прямоугольным треугольником.

4. Закон синусов позволяет нам найти высоту цилиндра h. В данном случае у нас имеется гипотенуза (радиус цилиндра) и противолежащий угол (60 градусов), поэтому мы можем записать следующее соотношение:

\(\sin(60^\circ) = \frac{h}{20}\)

5. Решим это уравнение для h:

\(h = 20 \cdot \sin(60^\circ)\)

Вычислив значение синуса 60 градусов, получим высоту цилиндра h.

6. Теперь, когда у нас есть высота цилиндра h, мы можем перейти к расчету объема призмы. Объем призмы можно найти, умножив площадь основания призмы на ее высоту.

7. Основание призмы является равносторонним треугольником, так как угол между большей боковой гранью призмы и плоскостью основания призмы составляет 60 градусов. Площадь равностороннего треугольника можно найти, используя следующую формулу:

\(П = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\),

где a - длина стороны треугольника.

8. Для нахождения длины стороны треугольника можем воспользоваться формулой синуса, так как нам известны углы треугольника и длина радиуса цилиндра. Запишем данную формулу:

\(\sin(60^\circ) = \frac{a}{20}\)

9. Решим это уравнение для a:

\(a = 20 \cdot \sin(60^\circ)\)

Вычислив значение синуса 60 градусов, получим длину стороны треугольника.

10. Теперь, когда у нас есть длина стороны треугольника a, мы можем найти площадь основания призмы. Подставим значение a в формулу площади равностороннего треугольника и найдем площадь основания.

11. Итак, у нас есть площадь основания призмы и высота цилиндра. Найдем объем призмы, умножив площадь основания на высоту цилиндра:

\(V = П \cdot h\)

Выполнив все указанные выше шаги, мы найдем объем треугольной призмы, вокруг которой описан цилиндр. Данный ответ является максимально подробным и обстоятельным, с обоснованием каждого шага.