Каков объем тела вращения, полученного при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 6 см, и острым

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для объема тела вращения.

Для начала, определимся с осью вращения. В условии сказано, что треугольник вращается вокруг одного из катетов. Пусть этот катет равен \(a\) см, а другой катет — \(b\) см.

Так как гипотенуза треугольника равна 6 см, то по теореме Пифагора мы можем найти значения катетов:

\[a = b = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \, \text{см}\]

Теперь, когда у нас есть значения катетов, применим формулу для объема тела вращения прямоугольного треугольника:

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h\]

где \(V\) — объем, \(\pi \approx 3.14\) — математическая константа, \(r\) — расстояние от оси вращения до гипотенузы, а \(h\) — длина гипотенузы.

Мы знаем, что расстояние от оси вращения до гипотенузы равно половине длины гипотенузы (так как угол вращения 45 градусов, равномерно распределяет длину гипотенузы вокруг оси вращения), поэтому \(r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.

Теперь мы можем подставить значения \(r\) и \(h\) в формулу и вычислить объем:

\[V = 3.14 \cdot (3^2) \cdot 6\]

\[V = 3.14 \cdot 9 \cdot 6\]

\[V \approx 169.56\]

Таким образом, объем тела вращения, полученного при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой 6 см и острым углом 45 градусов вокруг одного из катетов, равен примерно \(169.56\) кубических сантиметров.