Сколько мячей, скакалок и обручей купил тренер, если он потратил 1690 рублей? Одна скакалка стоит 260 рублей, обруч

Для решения этой задачи, нам необходимо найти количество мячей, скакалок и обручей, которые тренер купил при затрате 1690 рублей.

Пусть количество мячей, скакалок и обручей, которые тренер купил, равно \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно.

Согласно условию задачи, стоимость одной скакалки - 260 рублей, обруча - 130 рублей и мяча - 100 рублей.

Мы можем записать следующую систему уравнений, чтобы найти значения \(x\), \(y\) и \(z\):

\[
\begin{align*}
260x + 130y + 100z &= 1690 \\
\end{align*}
\]

Теперь найдем решение этой системы уравнений.

Сначала решим уравнение для \(x\):

\[
\begin{align*}
260x &= 1690 - 130y - 100z \\
x &= \frac{1690 - 130y - 100z}{260}
\end{align*}
\]

Заметим, что разница между 1690 и оставшейся суммой будет равна стоимости мячей. Выразим \(x\) через стоимость мячей:

\[
\begin{align*}
x &= \frac{1690 - 130y - 100z}{260} \\
x &= \frac{1690 - 130y - 100z}{260} - \frac{100(1690 - 130y - 100z)}{260} + \frac{1690 - 130y - 100z}{260} \\
x &= \frac{1690 - 130y - 100z}{260} - \frac{1690 - 130y - 100z}{260} + \frac{1300 - 260y - 200z}{260} \\
x &= \frac{1300 - 260y - 200z}{260} \\
x &= \frac{1300 - 10y - 8z}{2} \\
x &= \frac{650 - 5y - 4z}{1}
\end{align*}
\]

Теперь мы имеем выражение для \(x\). Подставим это выражение в исходное уравнение и выразим \(y\):

\[
\begin{align*}
260x + 130y + 100z &= 1690 \\
260\left(\frac{650 - 5y - 4z}{1}\right) + 130y + 100z &= 1690 \\
\frac{65000 - 1300y - 1040z}{1} + 130y + 100z &= 1690 \\
65000 - 1300y - 1040z + 130y + 100z &= 1690 \\
65000 - 1170y - 940z &= 1690 \\
-1170y - 940z &= -63310 \\
1170y + 940z &= 63310 \\
\end{align*}
\]

Теперь выразим \(y\) через \(z\):

\[
\begin{align*}
1170y + 940z &= 63310 \\
y &= \frac{63310 - 940z}{1170} \\
y &= \frac{6331 - 94z}{117}
\end{align*}
\]

Наконец, чтобы найти значения \(x\), \(y\) и \(z\), подставим \(y\) в выражение для \(x\) и решим уравнение для \(z\):

\[
\begin{align*}
x &= \frac{650 - 5y - 4z}{1} \\
x &= \frac{650 - 5\left(\frac{6331 - 94z}{117}\right) - 4z}{1} \\
x &= \frac{650 - \frac{31655 - 470z}{117} - 4z}{1} \\
x &= \frac{650 - \frac{31655 - 470z}{117} - \frac{468z}{117}}{1} \\
x &= \frac{650 - \frac{31655 - 470z - 468z}{117}}{1} \\
x &= \frac{650 - \frac{31655 - 938z}{117}}{1} \\
x &= \frac{650 \cdot 117 - 31655 + 938z}{117} \\
x &= \frac{650 \cdot 117 - 31655}{117} + \frac{938z}{117} \\
x &= \frac{75950}{117} + \frac{938z}{117} \\
x &= 650 + \frac{938z}{117}
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получили зависимости между переменными \(x\), \(y\) и \(z\). Чтобы найти целочисленные значения этих переменных, мы можем пройтися по различным значениям \(z\) в допустимом диапазоне и подставить их в выражения для \(x\) и \(y\) для получения соответствующих значений.

Однако, заметим, что сумма стоимостей всех трех предметов не может быть больше 1690 рублей. Это означает, что мы можем проверить значения \(z\) от 0 до 16, так как \(130 \cdot 16 = 2080\) (самая большая стоимость обручей) и \(z\) не может быть больше этого значения.

Вычислим значения \(x\) и \(y\) для каждого значения \(z\) от 0 до 16, чтобы найти комбинацию трех предметов, которые тренер мог купить при потрате 1690 рублей:

\[
\begin{align*}
z &= 0: &x &= 650, &y &= 0 \\
z &= 1: &x &= 657, &y &= 5 \\
z &= 2: &x &= 664, &y &= 10 \\
z &= 3: &x &= 671, &y &= 15 \\
z &= 4: &x &= 678, &y &= 20 \\
z &= 5: &x &= 685, &y &= 25 \\
z &= 6: &x &= 692, &y &= 30 \\
z &= 7: &x &= 699, &y &= 35 \\
z &= 8: &x &= 706, &y &= 40 \\
z &= 9: &x &= 713, &y &= 45 \\
z &= 10: &x &= 720, &y &= 50 \\
z &= 11: &x &= 727, &y &= 55 \\
z &= 12: &x &= 734, &y &= 60 \\
z &= 13: &x &= 741, &y &= 65 \\
z &= 14: &x &= 748, &y &= 70 \\
z &= 15: &x &= 755, &y &= 75 \\
z &= 16: &x &= 762, &y &= 80 \\
\end{align*}
\]

Итак, мы получили следующие комбинации трех предметов, которые тренер мог приобрести и потратить 1690 рублей:

Для \(z = 0\): 650 мячей, 0 скакалок, 0 обручей.
Для \(z = 1\): 657 мячей, 5 скакалок, 1 обруч.
Для \(z = 2\): 664 мячей, 10 скакалок, 2 обруча.
Для \(z = 3\): 671 мячей, 15 скакалок, 3 обруча.
Для \(z = 4\): 678 мячей, 20 скакалок, 4 обруча.
Для \(z = 5\): 685 мячей, 25 скакалок, 5 обручей.
Для \(z = 6\): 692 мячей, 30 скакалок, 6 обручей.
Для \(z = 7\): 699 мячей, 35 скакалок, 7 обручей.
Для \(z = 8\): 706 мячей, 40 скакалок, 8 обручей.
Для \(z = 9\): 713 мячей, 45 скакалок, 9 обручей.
Для \(z = 10\): 720 мячей, 50 скакалок, 10 обручей.
Для \(z = 11\): 727 мячей, 55 скакалок, 11 обручей.
Для \(z = 12\): 734 мячей, 60 скакалок, 12 обручей.
Для \(z = 13\): 741 мячей, 65 скакалок, 13 обручей.
Для \(z = 14\): 748 мячей, 70 скакалок, 14 обручей.
Для \(z = 15\): 755 мячей, 75 скакалок, 15 обручей.
Для \(z = 16\): 762 мячей, 80 скакалок, 16 обручей.

Таким образом, тренер мог купить различные комбинации трех предметов в зависимости от количества обручей, которые он решил приобрести, и потратить 1690 рублей.

Я надеюсь, что это развернутое решение поможет вам лучше понять, как решить данную задачу.