Каков объем тела, полученного в результате вращения четырехугольника с вершинами A(0:0), B(0:2), C(4:2) и D(1:0) вокруг

ось OX?

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой объема тела вращения. В данном случае, мы вращаем четырехугольник вокруг оси OX, создавая тело вращения.

Первым шагом нам необходимо построить график четырехугольника ABCD на координатной плоскости. По координатам вершин данного четырехугольника, мы находимся следующий вид:

A(0,0), B(0,2), C(4,2), D(1,0).

Теперь, чтобы найти объем тела вращения, нужно само тело представить вращением некоторой области вокруг оси OX. В данном случае, наше тело выглядит как фигура, полученная вращением четырехугольника вокруг оси OX.

Таким образом, четырехугольник на оси OX будет образовывать цилиндр вверх и пирамиду вниз. Нам нужно найти объем этих двух фигур и сложить их.

Для нахождения объема цилиндра, мы можем использовать формулу V = πr^2h, где r - радиус основания цилиндра, а h - высота цилиндра. В данном случае, радиус цилиндра равен расстоянию от оси OX до вершины B, а высота цилиндра равна длине отрезка BC.

Рассчитаем значения:

Радиус цилиндра: r = 2

Высота цилиндра: h = 4

Теперь можем найти объем цилиндра:

V_цилиндра = π * 2^2 * 4

Теперь рассмотрим объем пирамиды, которая образована нижней частью четырехугольника. Формула для нахождения объема пирамиды V = 1/3 * S * h, где S - площадь основания, а h - высота пирамиды.

Высота пирамиды: h = 1

Площадь основания пирамиды можно найти, например, с помощью формулы Герона для нахождения площади треугольника, используя точки вершин C, D и начала координат:

S_osnovaniya = sqrt(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - CD)), где AB, AC, CD - длины сторон четырехугольника, p - полупериметр четырехугольника.

Рассчитаем значения:

AB = sqrt((0-0)^2 + (2-0)^2) = 2

AC = sqrt((4-0)^2 + (2-0)^2) = 4

CD = sqrt((1-4)^2 + (0-2)^2) = sqrt((-3)^2 + (-2)^2) = sqrt(9+4) = sqrt(13)

p = (AB + AC + CD) / 2 = (2 + 4 + sqrt(13)) / 2 = 3 + 0.5 * sqrt(13)

S_osnovaniya = sqrt((3 + 0.5 * sqrt(13)) * (3 + 0.5 * sqrt(13) - 2) * (3 + 0.5 * sqrt(13) - 4) * (3 + 0.5 * sqrt(13) - sqrt(13)))

Теперь можем найти объем пирамиды:

V_пирамиды = 1/3 * S_osnovaniya * 1

Теперь сложим объем цилиндра и пирамиды:

V_тела = V_цилиндра + V_пирамиды

А теперь давайте посчитаем:

V_цилиндра = \(π * 2^2 * 4\)

V_пирамиды = \(1/3 * S_osnovaniya * 1\)

V_тела = \(V_цилиндра + V_пирамиды\)

Дальше мы можем подставить значения и получить конечный ответ.

\[
V_цилиндра = π * 2^2 * 4 = 16π
\]

\[
V_пирамиды = 1/3 * S_osnovaniya * 1
\]

\[
V_тела = V_цилиндра + V_пирамиды
\]