1. В равнобедренном треугольнике АВС, через вершину В проведена прямая линия ВD, параллельная основанию АС

Чтобы решить данную задачу, давайте разберемся более подробно с данными фигурами и их свойствами.

У нас есть равнобедренный треугольник АВС, где сторона АС равна стороне ВС, а точка К - середина высоты ВН.

Рассмотрим отношения, в которых точка N делит сторону АВ.

По свойству серединного перпендикуляра, высота ВН перпендикулярна к основанию АС и делит его пополам, значит, ВН = НС.

Также, по свойству равнобедренного треугольника, высота ВН является медианой и делит сторону АС пополам, значит, АК = КС.

Теперь обратимся к лучу ВD. По условию задачи, луч ВD является параллельным основанию АС. Так как ВК - это медиана, а НВ - это высота, точка Д будет являться серединой стороны КС.

Итак, мы имеем следующие равенства:
ВН = НС,
АК = КС,
КD = ДС.

Теперь рассмотрим отношение, в котором точка N делит сторону АВ. Обозначим это отношение как x:1-x, где х - это доля стороны АВ до точки N, а (1-x) - это доля стороны АВ после точки N.

Так как точка N делит сторону АВ, то отношение длин сторон должно быть равно отношению длин соответствующих отрезков ВК и КН:

\(\frac{ВК}{КН} = x : (1-x)\).

Но так как АК = КС, то и ВК = ДС, значит, мы можем заменить ВК и КН на ДС и НК в равенстве:

\(\frac{ДС}{НК} = x : (1-x)\).

Теперь, учитывая, что ВН = НС и КД = ДС, получаем:

\(\frac{КД}{НК} = x : (1-x)\).

Мы знаем, что КД = ДС, поэтому:

\(\frac{ДС}{НК} = x : (1-x)\).

Таким образом, мы можем заключить, что точка N делит сторону АВ в отношении \(x : (1-x)\), где \(x = \frac{ДС}{НК}\).

Это решение содержит пошаговое объяснение, обоснование ответа и подробные выкладки. Теперь школьник сможет легко понять, как точка N делит сторону АВ.