Каков объем прямоугольной призмы с треугольным основанием с сторонами длиной 13см, 14см и 15см, если площадь ее боковой

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для вычисления объема прямоугольной призмы. Она выглядит следующим образом:

\[V = S \times h\]

где \(V\) - объем призмы, \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота призмы.

Площадь боковой поверхности призмы равна площади всех ее боковых граней. В случае треугольного основания у нас три боковые грани, поэтому общая площадь боковой поверхности будет равна сумме площадей этих граней.

Для начала, нам нужно найти высоту призмы. Мы знаем, что площадь боковой поверхности равна 462 см². Площадь одной боковой грани треугольной призмы можно найти по формуле:

\[S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \times a \times h_{\text{грани}}\]

где \(a\) - длина стороны треугольника, \(h_{\text{грани}}\) - высота боковой грани.

Так как у нас треугольное основание, то все три боковые грани равны между собой. Поэтому:

\[S_{\text{бок}} = 3 \times S_{\text{грани}}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[462 = 3 \times \frac{1}{2} \times 13 \times h_{\text{грани}}\]

\[462 = \frac{39}{2} \times h_{\text{грани}}\]

Чтобы найти высоту \(h_{\text{грани}}\), разделим обе части уравнения на \(\frac{39}{2}\):

\[h_{\text{грани}} = \frac{2 \times 462}{39} = 12\]

Теперь, когда мы нашли высоту призмы, можем использовать формулу для вычисления объема призмы:

\[V = S \times h_{\text{призмы}}\]

Для прямоугольного основания, площадь основания равна произведению длины одной из сторон \(S = 13 \times 14 = 182\).

Подставляя значения, получим:

\[V = 182 \times 12 = 2184\]

Ответ: Объем прямоугольной призмы с треугольным основанием и сторонами длиной 13 см, 14 см и 15 см равен 2184 см³.