Каков объем прямоугольной пирамиды SABCD, где SB - высота пирамиды, ABCD - прямоугольная трапеция с прямыми углами

Для начала, рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD:

\[
\begin{array}{cccc}
& & B & & \\
& \underline{\quad} & \downarrow & \underline{\quad} & \\
A & \longrightarrow & \underline{\quad} & \longleftarrow & C \\
& \underline{\quad} & \uparrow & \underline{\quad} & \\
& & D & & \\
\end{array}
\]

У нас есть следующие данные:

\begin{align*}
\angle SAB &= 60^\circ \\
\angle SCB &= 30^\circ \\
AD &= 2 \cdot AB \\
AB &= \sqrt{x} \\
\end{align*}

Мы должны найти объем прямоугольной пирамиды SABCD, где SB - высота пирамиды.

Для начала, давайте найдем высоту пирамиды SB. Заметим, что треугольник SAB является прямоугольным, поскольку \(\angle SAB = 60^\circ\). Таким образом, мы можем воспользоваться теоремой косинусов:

\[
SB^2 = SA^2 + AB^2 - 2 \cdot SA \cdot AB \cdot \cos(\angle SAB)
\]

Так как у нас \(AB = \sqrt{x}\), заменим его в уравнении:

\[
SB^2 = SA^2 + x - 2 \cdot SA \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(60^\circ)
\]

Теперь, давайте воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции. Мы знаем, что AD параллельно BC. Также, у нас есть соотношение между сторонами прямоугольной трапеции: \(AD = 2 \cdot AB\). Подставим это соотношение в уравнение:

\[
SB^2 = SA^2 + x - 2 \cdot SA \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot AB^2 + x - 2 \cdot SA \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(60^\circ)
\]

Далее, заметим, что у нас есть еще одна прямая грань прямоугольной пирамиды, которая проходит через точку B и параллельна плоскости ABCD. Обозначим ее как MN:

\[
\begin{array}{cccc}
& & B & & \\
& \underline{\quad} & \downarrow & \underline{\quad} & \\
M & \longrightarrow & \underline{\quad} & \longleftarrow & N \\
& \underline{\quad} & \uparrow & \underline{\quad} & \\
& & & & \\
\end{array}
\]

Так как M и N лежат на плоскости ABCD, то они также лежат на линии AB и CD соответственно. Так как AD параллельно BC и MN параллельно ABCD, то линия MN также параллельна линии AD.

Так как AB = MN, заменим AB на MN в уравнении:

\[
SB^2 = 4 \cdot MN^2 + x - 2 \cdot SA \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(60^\circ)
\]

Теперь у нас есть выражение для квадрата высоты SB. Однако, нам нужно найти саму высоту SB. Для этого нам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[
SB = \sqrt{4 \cdot MN^2 + x - 2 \cdot SA \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(60^\circ)}
\]

Теперь, мы знаем высоту пирамиды SB. Для нахождения объема пирамиды SABCD, мы можем использовать формулу для объема пирамиды:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot \text{высота}
\]

Так как основание пирамиды - это прямоугольная трапеция ABCD, то площадь основания \(S_{\text{основания}}\) равна площади прямоугольной трапеции ABCD.

Для нахождения площади прямоугольной трапеции ABCD, мы можем использовать формулу:

\[
S_{\text{основания}} = \frac{(AB + CD) \cdot SB}{2}
\]

Так как у нас \(AB = MN\), заменим AB на MN в формуле:

\[
S_{\text{основания}} = \frac{(MN + CD) \cdot SB}{2} = \frac{(MN + AD) \cdot SB}{2}
\]

Так как у нас \(AD = 2 \cdot AB\), заменим ее в формуле:

\[
S_{\text{основания}} = \frac{(MN + 2 \cdot AB) \cdot SB}{2}
\]

Теперь у нас есть площадь основания пирамиды, а также высота пирамиды. Подставим эти значения в формулу для объема пирамиды:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot \text{высота} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{(MN + 2 \cdot AB) \cdot SB}{2}\right) \cdot SB = \frac{1}{6} \cdot (MN + 2 \cdot AB) \cdot SB^2
\]

Теперь, заменим выражения для MN и SB в формуле:

\[
V = \frac{1}{6} \cdot (MN + 2 \cdot AB) \cdot (4 \cdot MN^2 + x - 2 \cdot SA \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(60^\circ))
\]

Simplifying the expression, we have:

\[
V = \frac{1}{6} \cdot (4 \cdot MN^3 + 2 \cdot AB \cdot MN^2 + 4 \cdot AB \cdot MN^2 + 2 \cdot AB \cdot x - 4 \cdot AB \cdot SA \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(60^\circ))
\]

Now, let"s simplify further:

\[
V = \frac{1}{6} \cdot (4 \cdot MN^3 + 6 \cdot AB \cdot MN^2 + 2 \cdot AB \cdot x - 4 \cdot AB \cdot SA \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(60^\circ))
\]

Finally, we have the expression for the volume of the rectangular pyramid SABCD in terms of the given variables.