1. Что будет длина линии пересечения сферы и плоскости, если сфера имеет радиус 15 см и плоскость проходит

Задача 1:
Для нахождения длины линии пересечения сферы и плоскости, нам потребуется использовать геометрические свойства. Поскольку плоскость проходит на расстоянии 9 см от центра сферы, мы можем сказать, что расстояние от плоскости до центра сферы равно 9 см. Радиус сферы составляет 15 см.

Теперь давайте нарисуем плоскость и сферу в виде двумерных фигур для упрощения задачи. Представим, что смотрим на сферу сбоку. Поскольку плоскость проходит через центр сферы, она разделит сферу на две равные половины.

Теперь у нас есть треугольник, состоящий из радиуса сферы, линии пересечения и отрезка, соединяющего центр сферы с точкой пересечения линии и плоскости. Этот треугольник является прямоугольным треугольником.

Давайте найдем длину этого отрезка с помощью теоремы Пифагора. Пусть длина отрезка будет \(a\). Тогда можно записать:

\[a^2 + 9^2 = 15^2\]

\[a^2 + 81 = 225\]

\[a^2 = 225 - 81\]

\[a^2 = 144\]

Для решения этого уравнения возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[a = \sqrt{144}\]

\[a = 12\]

Поэтому длина линии пересечения сферы и плоскости равна 12 см.

Задача 2:
Чтобы найти площадь поверхности шара, когда плоскость, касающаяся шара, проходит на расстоянии 4 см от его центра, мы можем использовать геометрическую теорию.

Эта плоскость является касательной к шару и образует окружность на его поверхности. Радиус этой окружности будет равен расстоянию от центра шара до плоскости, то есть 4 см.

Площадь поверхности шара можно найти, используя формулу:

\[S = 4\pi r^2\]

где \(S\) - площадь поверхности шара, \(\pi\) - математическая константа "пи" (приблизительно равна 3,14), \(r\) - радиус окружности, касающейся шара.

Подставим известные значения:

\[S = 4\pi 4^2\]

\[S = 64\pi\]

Поэтому площадь поверхности шара составляет 64\(\pi\) квадратных сантиметра.

Задача 3:
Чтобы определить площадь сечения шара, когда его диаметр равен 6, а плоскость проходит через конец диаметра под углом 45 градусов к нему, нам потребуется использовать геометрические свойства.

Когда плоскость проходит через шар, она разделяет его на две части. Сечение - это граница между этими двумя частями шара, представляющая собой окружность.

Мы знаем, что диаметр шара равен 6, что значит, что его радиус \(r\) равен 3. Запишем уравнение окружности:

\[x^2 + y^2 = r^2\]

Так как плоскость проходит через конец диаметра под углом 45 градусов, координаты точек сечения будут иметь значения \(x = r \cdot \cos(45^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\) и \(y = r \cdot \sin(45^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\).

Подставим найденные значения в уравнение окружности:

\[\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 3^2\]
\[\frac{9 \cdot 2}{4}+\frac{9 \cdot 2}{4} = 9\]
\[9+9 = 9\]
\[18 = 9\]

У нас получилось неверное уравнение. Ошибка в исходных данных или решении.

К сожалению, по предоставленным данным не удалось найти площадь сечения шара. Требуется дополнительная информация или проверка исходных условий.