Каков объем прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна √6 и образует углы 30°, 45° и 60° с плоскостями

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда с заданными условиями, мы можем разбить задачу на несколько шагов.

1. Нам дано, что диагональ параллелепипеда равна \(\sqrt{6}\). Обозначим эту диагональ буквой \(d\).

2. Поскольку диагональ параллелепипеда проходит через центр фигуры и образует углы 30°, 45° и 60° с плоскостями его граней, то параллелепипед можно представить в виде трех взаимно перпендикулярных плоскостей, в которых диагональ разделена на соответствующие участки.

3. Разделим диагональ параллелепипеда на три части в соответствии с данными углами. Обозначим длины этих участков через \(a\), \(b\) и \(c\).

4. Исходя из геометрических свойств параллелепипеда, у нас имеются следующие равенства:
\(a = d \cdot \sin(30°)\), \(b = d \cdot \sin(45°)\), \(c = d \cdot \sin(60°)\).

5. Подставим значения углов и диагонали в эти формулы и найдем длины участков диагонали параллелепипеда:
\(a = \sqrt{6} \cdot \sin(30°)\), \(b = \sqrt{6} \cdot \sin(45°)\), \(c = \sqrt{6} \cdot \sin(60°)\).

6. Рассчитаем значения синусов этих углов:
\(\sin(30°) = 0.5\), \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

7. Подставим значения синусов в формулы для длин участков:
\(a = \sqrt{6} \cdot 0.5\), \(b = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(c = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

8. Выполним простые вычисления:
\(a = \frac{\sqrt{6}}{2}\), \(b = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{2} = \sqrt{3}\), \(c = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\).

9. Теперь, когда у нас есть длины всех сторон параллелепипеда (\(a\), \(b\) и \(c\)), мы можем найти его объем (\(V\)) с помощью формулы: \(V = a \cdot b \cdot c\).

10. Подставим значения длин сторон в формулу объема:
\(V = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{4}\).

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда с заданными условиями равен \(\frac{9\sqrt{2}}{4}\).