Каков объем прямоугольного параллелепипеда, если периметр его основания равен 40 см, а площадь его боковой поверхности

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать несколько формул и применить логические рассуждения.

Первое, что следует сделать, это понять, какие данные даются в условии задачи. У нас есть информация о периметре основания и площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда. Периметр основания равен 40 см, а площадь боковой поверхности составляет 400 квадратных сантиметров.

Для начала, найдем длину и ширину основания. Условие говорит о том, что длина основания на 4 сантиметра больше его ширины. Представим, что ширина основания равна \(w\) сантиметрам. Тогда длина основания будет равна \(w + 4\) сантиметрам.

Периметр прямоугольника равен сумме длины всех его сторон. В нашем случае, периметр основания равен 40 сантиметрам, что означает, что сумма длины всех сторон равна 40 сантиметрам.

Сумма длин всех сторон прямоугольника равна удвоенной сумме длины и ширины основания. То есть,

\[2(w + 4 + w) = 40\].

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[2w + 8 + 2w = 40.\]

Суммируем одночлены:

\[4w + 8 = 40.\]

Вычтем 8 с обеих сторон:

\[4w = 32.\]

Избавимся от коэффициента 4, разделив обе части уравнения на 4:

\[w = 8.\]

Таким образом, ширина основания параллелепипеда равна 8 сантиметрам. Следовательно, длина основания будет \(8 + 4 = 12\) сантиметров.

Теперь у нас есть длина и ширина основания параллелепипеда. Чтобы найти высоту параллелепипеда, воспользуемся формулой для площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме произведений длины и высоты каждой боковой грани. В нашем случае, площадь боковой поверхности равна 400 квадратных сантиметров.

Поэтому, \(2h(12 + 8) = 400\).

Упростим уравнение:

\[2h \cdot 20 = 400.\]

Переходим к одночлену:

\[40h = 400.\]

Разделим обе части уравнения на 40:

\[h = 10.\]

Таким образом, высота параллелепипеда равна 10 сантиметрам.

Теперь у нас есть длина, ширина и высота параллелепипеда, и мы можем найти его объем. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \(V = l \cdot w \cdot h\), где \(l\), \(w\) и \(h\) - это длина, ширина и высота соответственно.

Подставляем известные значения:

\[V = 12 \cdot 8 \cdot 10 = 960.\]

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен 960 кубическим сантиметрам.