Каков объем прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна 10 см и образует угол 60° с плоскостью основания

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора и геометрическими свойствами параллелограмма. Давайте разберемся пошагово:

1. Предположим, что стороны основания параллелепипеда равны \(a\) и \(b\), а высота параллелепипеда равна \(h\).
2. Обозначим расстояние от центра основания \(O\) до вершины параллелепипеда \(A\) как \(r\) (рисунок).
3. Заметим, что диагональ параллелепипеда является гипотенузой треугольника \(AOB\), где \(O\) - середина диагонали, \(A\) и \(B\) - вершины основания, соединенные с \(O\) (рисунок).
4. Из свойств треугольника, известно, что \(\cos(\angle AOB) = \frac{r}{a/2}\) (половина ширины основания равна \(a/2\)).
5. Также, из условия задачи, видно, что \(\angle AOB = 60^{\circ}\).
6. Подставляя значения в формулу, получаем \(\frac{r}{a/2} = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}\).
7. Таким образом, получаем: \(r = \frac{a}{4}\).

Теперь мы можем решить задачу с использованием теоремы Пифагора:

8. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACO\), где \(C\) - вершина параллелепипеда, противоположная основанию (рисунок).
9. Из теоремы Пифагора, имеем \(AC^2 = AO^2 + OC^2\).
10. Заметим, что \(AO = r\) и \(OC = h\), тогда получаем \(AC^2 = r^2 + h^2\).

Так как диагональ параллелепипеда равна 10 см, то:

11. Вспомним треугольник \(AOB\) и теорему косинусов: \(AB^2 = r^2 + r^2 - 2r \cdot r \cdot \cos(\angle AOB)\).
12. Подставим значение угла и получим \(AB^2 = 2r^2 - 2r^2 \cos(60^{\circ}) = 2r^2 - r^2 = r^2\).
13. Таким образом, \(AB = r\).

Теперь мы имеем все необходимые элементы для нахождения объема параллелепипеда:

14. Объем \(V\) параллелепипеда можно найти как произведение площади основания и высоты: \(V = A_{\text{основания}} \cdot h\).
15. Площадь прямоугольника (основания) может быть найдена как произведение длин его сторон: \(A_{\text{основания}} = a \cdot b\).

Теперь мы можем написать окончательное выражение для объема параллелепипеда:

\[
V = A_{\text{основания}} \cdot h = (a \cdot b) \cdot h = \text{здесь выразить через r}
\]

С учетом того, что \(r = \frac{a}{4}\), получаем:

\[
V = \left(\frac{a}{4} \cdot b\right) \cdot h
\]

Согласно условию задачи, нам известна разность сторон основания, обозначим ее как \(d\):

16. Имеем \(a - b = d\), откуда \(a = b + d\).
17. Подставим это выражение для \(a\) в формулу для объема параллелепипеда:

\[
V = \left(\frac{b+d}{4} \cdot b\right) \cdot h = \frac{1}{4} b^2 \cdot h + \frac{1}{4}bdh
\]

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда может быть выражен как сумма двух слагаемых \(V_1\) и \(V_2\):

\[
V = V_1 + V_2
\]

где

\[
V_1 = \frac{1}{4} b^2 \cdot h
\]

и

\[
V_2 = \frac{1}{4}bdh
\]

Надеюсь, этот обстоятельный ответ поможет вам лучше понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!