Каков объем прямоугольного параллелепипеда АВСDKLMN, у которого стороны основания АВ и ВС равны 3 см и

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу объема прямоугольного параллелепипеда, которая выглядит следующим образом:

\[V = S_{\text{основания}} \cdot h,\]

где \(V\) - объем параллелепипеда, \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания параллелепипеда, \(h\) - высота параллелепипеда.

Для начала найдем площадь основания параллелепипеда. Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину одной из сторон на длину другой стороны. В данном случае, стороны основания АВ и ВС равны 3 см и 4 см соответственно, поэтому площадь основания будет:

\[S_{\text{основания}} = AB \cdot BC = 3 \, \text{см} \cdot 4 \, \text{см} = 12 \, \text{см}^2.\]

Теперь найдем высоту параллелепипеда. Обратимся к информации о диагонали КС: она образует угол в 45 градусов с плоскостью основания. Из геометрии следует, что высота параллелепипеда равна проекции диагонали КС на плоскость основания. Так как угол между диагональю и плоскостью основания составляет 45 градусов, то проекция будет равна длине диагонали, деленной на \(\sqrt{2}\):

\[h = \frac{KC}{\sqrt{2}}.\]

Нам дано, что сторона ВС равна 4 см. Теперь найдем длину диагонали КС, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника КСВ:

\[KC^2 = KB^2 + BC^2.\]

Поскольку мы знаем, что сторона ВС равна 4 см, то:

\[KC^2 = KB^2 + 4^2.\]

Для нахождения длины KB, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника АКВ:

\[KB^2 = AB^2 + AK^2.\]

Имея информацию, что сторона AB равна 3 см и угол между основанием и диагональю составляет 45 градусов, мы можем найти значение AK с помощью тригонометрической функции синуса:

\[\sin(45^\circ) = \frac{{AK}}{{AB}}.\]

Таким образом, получаем:

\[AK = AB \cdot \sin(45^\circ) = 3 \, \text{см} \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2} = \frac{{3 \sqrt{2}}}{2} \, \text{см}.\]

Теперь мы можем найти значение KB:

\[KB^2 = AB^2 + AK^2 = 3^2 + \left(\frac{{3 \sqrt{2}}}{2}\right)^2.\]

После выполнения расчетов, получаем:

\[KB^2 = 9 + \frac{{9 \cdot 2}}{4} = \frac{{36}}{4} + \frac{{18}}{4} = \frac{{54}}{4} = \frac{{27}}{2}.\]

Теперь, найдя значения KB и BC, мы можем рассчитать значение KC:

\[KC^2 = KB^2 + BC^2 = \frac{{27}}{2} + 4^2 = \frac{{27}}{2} + 16 = \frac{{27 + 32}}{2} = \frac{{59}}{2}.\]

Из полученного значения KC мы можем найти высоту h:

\[h = \frac{{KC}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{\frac{{59}}{2}}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{59}}{{2\sqrt{2}}} = \frac{{59 \sqrt{2}}}{4} \, \text{см}.\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания \(S_{\text{основания}} = 12 \, \text{см}^2\) и высота \(h = \frac{{59 \sqrt{2}}}{4} \, \text{см}\), мы можем найти объем параллелепипеда с помощью формулы:

\[V = S_{\text{основания}} \cdot h = 12 \, \text{см}^2 \cdot \frac{{59 \sqrt{2}}}{4} \, \text{см} = \frac{{59 \sqrt{2} \cdot 12}}{4} \, \text{см}^3.\]

Выполнив необходимые вычисления, мы получаем окончательный ответ:

\[V = 177 \sqrt{2} \, \text{см}^3.\]