найдите значения неизвестных сторон и углов прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 9√3

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и некоторые свойства прямоугольного треугольника.

Пусть один из катетов прямоугольного треугольника равен \(9\sqrt{3}\) см, а гипотенуза - неизвестное нам значение, обозначим его через \(c\). Предположим, что другой катет равен неизвестному нам значению \(a\) см.

Согласно теореме Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

Подставим известные значения в уравнение:

\[c^2 = (9\sqrt{3})^2 + a^2\]

\[c^2 = 243 + a^2\]

Теперь нам нужно найти значение катета \(a\). Для этого нам понадобится второе уравнение, основанное на свойствах прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике, каждый из катетов является основанием прямоугольника, построенного на этом катете, а их высота является другим катетом.

Таким образом, мы можем записать соотношение:

\[a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c\]

Упростим это уравнение:

\[b = \frac{1}{2} \cdot c\]

Теперь мы знаем, что \(b = \frac{1}{2} \cdot c\). Подставим это значение в наше первое уравнение:

\[c^2 = (9\sqrt{3})^2 + a^2\]

\[c^2 = 243 + a^2\]

\[c^2 = 243 + \left(\frac{1}{2} \cdot c\right)^2\]

Уравнение получилось квадратным, и мы можем решить его с помощью алгебры. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[c^2 = 243 + \left(\frac{1}{4}\right) \cdot c^2\]

\[1 \cdot c^2 - \left(\frac{1}{4}\right) \cdot c^2 = 243\]

\[\frac{3}{4} \cdot c^2 = 243\]

Перейдем к умножению на обратную величину:

\[c^2 = \frac{243}{\frac{3}{4}}\]

\[c^2 = \frac{243 \cdot 4}{3}\]

\[c^2 = 324\]

Теперь найдем значение \(c\) путем извлечения квадратного корня из обеих сторон уравнения:

\[c = \sqrt{324}\]

\[c = 18\]

Таким образом, мы нашли значение гипотенузы \(c\) - оно равно 18 см.

Используя второе уравнение \(b = \frac{1}{2} \cdot c\), найдем значение катета \(b\):

\[b = \frac{1}{2} \cdot 18\]

\[b = 9\]

Таким образом, значение катета \(b\) равно 9 см.

Наконец, найдем значение катета \(a\) с помощью первого уравнения:

\[a^2 = c^2 - b^2\]

\[a^2 = (18)^2 - (9)^2\]

\[a^2 = 324 - 81\]

\[a^2 = 243\]

\[a = \sqrt{243}\]

\[a = 9\sqrt{3}\]

Таким образом, значения катетов \(a\) и \(b\) равны \(9\sqrt{3}\) см, а гипотенуза \(c\) равна 18 см.