Каков объем призмы с правильными шестиугольниками в основаниях, у которой стороны равны 5, а боковые ребра равны

Чтобы найти объем призмы с правильными шестиугольниками в основаниях, мы можем разделить эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем площадь основания призмы.
У нас есть правильный шестиугольник, у которого стороны равны 5. Чтобы найти площадь этого основания, мы можем использовать следующую формулу:
\[Площадь\ основания = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2,\]
где \(a\) - длина стороны шестиугольника.

Подставляя значения в формулу, получим:
\[Площадь\ основания = \frac{3\sqrt{3}}{2}(5^2).\]

Вычислив это выражение, получим:
\[Площадь\ основания = \frac{75\sqrt{3}}{2}.\]

Шаг 2: Найдем высоту призмы.
У нас есть боковые ребра призмы, которые равны 7 и наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов.
Мы можем нарисовать треугольник, в котором боковое ребро - гипотенуза, а высота - противоположная сторона угла в 60 градусов.
Воспользуемся формулой синуса для нахождения высоты треугольника:
\[\sin(60) = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}}.\]

Подставив значения, получим:
\[\sin(60) = \frac{\text{высота}}{7}.\]

Выразим высоту:
\[\text{высота} = 7 \cdot \sin(60).\]

Вычислим это выражение:
\[\text{высота} = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.\]
\[\text{высота} = \frac{7\sqrt{3}}{2}.\]

Шаг 3: Найдем объем призмы.
Чтобы найти объем призмы, мы можем использовать следующую формулу:
\[Объем = \text{площадь основания} \times \text{высота}.\]

Подставим значения:
\[Объем = \frac{75\sqrt{3}}{2} \times \frac{7\sqrt{3}}{2}.\]

Вычислим это выражение:
\[Объем = \frac{525\sqrt{3}}{4}.\]

Таким образом, объем призмы с правильными шестиугольниками в основаниях, у которой стороны равны 5, а боковые ребра равны 7 и наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов, равен \(\frac{525\sqrt{3}}{4}\).