Каков объем правильной треугольной призмы, у которой сторона основания равна 400 см, а диагональ боковой грани образует

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема правильной призмы, которая составляет \(V = S_{\text{основания}} \times h\), где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота призмы.

У нас есть треугольная призма, поэтому основание призмы будет равносторонним треугольником. Чтобы найти площадь основания, мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника \(S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

В нашей задаче дано, что сторона основания равна 400 см. Подставим это значение в формулу для площади основания:

\[S_{\text{основания}} = \frac{{400^2 \sqrt{3}}}{4}\]

Вычислим это значение:

\[S_{\text{основания}} = \frac{{160000 \sqrt{3}}}{4} = 40000 \sqrt{3}\]

Теперь остается найти высоту призмы. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора. Диагональ боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания, поэтому мы можем разделить треугольник, образованный диагональю, на две прямоугольные треугольники.

Давайте обозначим один из треугольников как треугольник \(ABC\), где \(AB\) - сторона основания, \(AC\) - диагональ, \(BC\) - высота призмы. По условию задачи, угол при вершине \(C\) равен 60 градусам.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения высоты призмы. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату гипотенузы:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2\]

Так как сторона основания \(AB\) равна 400 см, а диагональ боковой грани \(AC\) является гипотенузой, мы можем записать:

\[400^2 = BC^2 + AC^2\]

У нас есть угол при вершине \(C\) равный 60 градусам. В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB\) равна 400 см, а угол при вершине \(A\) равен 90 градусам (так как мы имеем прямоугольный треугольник).

Теперь мы можем использовать соотношение между сторонами прямоугольного треугольника и углом между ними. В прямоугольном треугольнике с углом в 60 градусов одна сторона будет в два раза короче другой, аплком к гипотенузе. Таким образом, мы можем записать:

\[BC = \frac{AB}{2} = \frac{400}{2} = 200\]

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

\[400^2 = 200^2 + AC^2\]

\[160000 = 40000 + AC^2\]

\[AC^2 = 160000 - 40000 = 120000\]

\[AC = \sqrt{120000}\]

\[AC = 200\sqrt{3}\]

Мы нашли длину диагонали боковой грани призмы \(AC\). В этой задаче, высота призмы \(BC\) равна \(AC\).

Теперь мы можем подставить значения площади основания \(S_{\text{основания}} = 40000\sqrt{3}\) и высоты призмы \(h = AC = 200\sqrt{3}\) в формулу для объема призмы:

\[V = S_{\text{основания}} \times h\]

\[V = 40000\sqrt{3} \times 200\sqrt{3}\]

\[V = 40000 \times 200 \times (\sqrt{3})^2\]

\[V = 8000000 \times 3\]

\[V = 24000000\ \text{см}^3\]

Таким образом, объем этой призмы равен \(\text{24000000 см}^3\).