Каков объём правильной треугольной пирамиды, если угол при вершине плоский равен 90 градусов и площадь её боковой

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам понадобится знать формулу для объема пирамиды и шаги, которые приведут нас к решению этой задачи.

Формула для объема пирамиды выглядит так: \(V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h\), где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

В данной задаче у нас есть информация о площади боковой поверхности (\(S_{\text{бок}}})), но у нас нет непосредственной информации о площади основания (\(S_{\text{основания}}\)) или высоте (\(h\)) пирамиды. Поэтому мы должны постепенно решать задачу.

Шаг 1: Найдем боковую поверхность пирамиды. В данной задаче задана площадь боковой поверхности, которая равна \(54\, \text{см}^2\). У правильной треугольной пирамиды боковая поверхность состоит из равностороннего треугольника, а формула для площади треугольника равна \(S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\), где \(a\) - длина стороны треугольника. Так как у нас уже задана площадь, мы можем использовать эту формулу для нахождения длины стороны треугольника.

\(S_{\text{треугольника}} = 54\, \text{см}^2\)
\(\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = 54\, \text{см}^2\)

Перегруппируем уравнение, чтобы найти \(a\):
\(a^2 = \frac{54\, \text{см}^2 \times 4}{\sqrt{3}}\)
\(a^2 = \frac{216\, \text{см}^2}{\sqrt{3}}\)

Мы можем взять квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти \(a\):
\(a \approx \sqrt{\frac{216\, \text{см}^2}{\sqrt{3}}} \approx 8\, \text{см}\)

Теперь, когда у нас есть длина стороны треугольника (\(a\)), мы можем перейти ко второму шагу.

Шаг 2: Найдем площадь основания пирамиды (\(S_{\text{основания}}\)). У нормального треугольника площадь равна \(S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\), где \(a\) - длина стороны треугольника (которую мы уже вычислили).

\(S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (8\, \text{см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64\, \text{см}^2 = 16\sqrt{3}\, \text{см}^2\)

Теперь у нас есть значение площади основания (\(S_{\text{основания}}\)). Находимся на шаге 3.

Шаг 3: Вычислим объем пирамиды (\(V\)). Мы можем использовать формулу для объема пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h\). Но нам неизвестна высота (\(h\)) пирамиды. Отсюда мы должны прояснить, что при плоском угле при вершине в правильной треугольной пирамиде высота равна \(\frac{a \sqrt{3}}{2}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

\(h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{8\, \text{см} \times \sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\, \text{см}\)

Теперь мы имеем значение высоты (\(h\)), и все данные, необходимые для вычисления объема (\(V\)). Можем продолжить наш последний шаг.

Шаг 4: Найдем объем пирамиды (\(V\)) с использованием формулы для объема пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h\).

\(V = \frac{1}{3} \times (16\sqrt{3}\, \text{см}^2) \times (4\sqrt{3}\, \text{см}) = \frac{1}{3} \times 64\sqrt{3}\, \text{см}^3\)

Таким образом, \(\text{объем правильной треугольной пирамиды составляет } \frac{64\sqrt{3}}{3}\, \text{см}^3\)