Найдите площадь боковой поверхности и полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания

Для начала найдем высоту этого параллелепипеда. Мы знаем, что диагональ параллелепипеда образует угол 45 градусов с плоскостью основания. Поэтому можем построить прямоугольный треугольник, в котором длина одной стороны параллелепипеда равна 15 см, а другой стороны равна 8 см.

Применим тригонометрическую функцию синус к углу 45 градусов, чтобы найти отношение высоты к длине диагонали треугольника (или к гипотенузе треугольника). Мы знаем, что \(\sin(45^\circ) = \frac{h}{d}\), где \(h\) - высота параллелепипеда, а \(d\) - диагональ параллелепипеда.

Таким образом, получаем уравнение \(\sin(45^\circ) = \frac{h}{\sqrt{15^2+8^2}}\). Решая это уравнение, найдем значение высоты \(h\).

\[\sin(45^\circ) = \frac{h}{\sqrt{225+64}}\]
\[\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{h}{\sqrt{289}}\]
\[\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{h}{17}\]
\[h = \frac{17}{\sqrt{2}}\]

Теперь, зная высоту, мы можем найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда. Боковая поверхность состоит из 4 прямоугольников, два из которых имеют стороны 15 см и \(h\), а два других имеют стороны 8 см и \(h\).

Площадь каждого прямоугольника равна произведению длины и ширины:

\[A_{бок} = 2 \cdot (15 \cdot h) + 2 \cdot (8 \cdot h) = 30h + 16h = 46h\]

Подставим значение \(h = \frac{17}{\sqrt{2}}\):

\[A_{бок} = 46 \cdot \frac{17}{\sqrt{2}} = \frac{782}{\sqrt{2}}\]

Теперь найдем полную поверхность прямоугольного параллелепипеда. Полная поверхность состоит из боковой поверхности и двух оснований, которые являются прямоугольниками со сторонами 15 см и 8 см.

Площадь каждого основания равна произведению длины и ширины:

\[A_{осн} = 15 \cdot 8 = 120\]

Таким образом, полная поверхность равна:

\[A_{полн} = A_{бок} + 2 \cdot A_{осн} = \frac{782}{\sqrt{2}} + 2 \cdot 120 = \frac{782}{\sqrt{2}} + 240\].

Итак, площадь боковой поверхности этого параллелепипеда равна \(\frac{782}{\sqrt{2}}\), а полная поверхность равна \(\frac{782}{\sqrt{2}} + 240\).