Каков объем правильной четырехугольной пирамиды, в которой все ребра равны

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Предположим, что у нас есть правильная четырехугольная пирамида, в которой все ребра равны. Правильная пирамида означает, что ее основание является правильной четырехугольной фигурой, а все ее боковые грани являются равными и равнобедренными треугольниками. Для начала мы должны определить, какие параметры нужно знать для вычисления объема пирамиды.

Объем пирамиды можно вычислить с помощью следующей формулы:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h\]

Где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Поскольку в нашей пирамиде все ребра равны, она является правильной, и основание является равносторонним четырехугольником. Если обозначить сторону основания как \(a\), то площадь основания можно вычислить по формуле:

\[S_{\text{осн}} = a^2\]

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Для этого нам понадобится теорема Пифагора. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами основания и высотой пирамиды. Учитывая, что основание - это равносторонний четырехугольник, угол между стороной основания и высотой составляет 60 градусов. Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

\[h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Упрощая выражение, получим:

\[h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\]

Объединяя члены справа, получаем:

\[h^2 = \frac{3a^2}{4}\]

Извлекая квадратный корень, мы получаем:

\[h = \frac{\sqrt{3a^2}}{2}\]

Теперь, когда у нас есть значения площади основания и высоты, мы можем вычислить объем пирамиды, подставив значения в формулу:

\[V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{\sqrt{3a^2}}{2}\]

Упрощая это выражение, получим окончательный ответ:

\[V = \frac{\sqrt{3a^4}}{6}\]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды, в которой все ребра равны, равен \(\frac{\sqrt{3a^4}}{6}\), где \(a\) - длина стороны основания.