Каково уравнение окружности, проходящей через точки М (2; 0) и N (-4; 8), при условии, что отрезок MN является

Для начала, помним, что уравнение окружности имеет форму \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Для решения задачи, мы знаем, что отрезок MN является диаметром окружности. Диаметр окружности - это отрезок, проходящий через центр и имеющий свои концы на самой окружности. Если \(М\) и \(N\) - концы диаметра, то середина диаметра будет координатами центра окружности.

Давайте найдем координаты центра окружности. Чтобы найти середину диаметра, просто возьмем среднее значение координат \(x\) и \(y\) концов диаметра:

\[
x_c = \frac{{x_M + x_N}}{2} = \frac{{2 + (-4)}}{2} = -1
\]
\[
y_c = \frac{{y_M + y_N}}{2} = \frac{{0 + 8}}{2} = 4
\]

То есть координаты центра окружности равны \((-1, 4)\).

Теперь нам нужно найти радиус окружности. Радиус - это половина длины диаметра. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат, чтобы найти длину диаметра \(MN\):

\[
d = \sqrt{{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2}} = \sqrt{{(-4 - 2)^2 + (8 - 0)^2}} = \sqrt{{(-6)^2 + (8)^2}} = \sqrt{{36 + 64}} = \sqrt{{100}} = 10
\]

Так как радиус - это половина диаметра, то радиус окружности будет \(r = \frac{{d}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\).

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точки \(М(2, 0)\) и \(N(-4, 8)\), при условии, что отрезок \(MN\) является ее диаметром, будет:

\[
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 5^2
\]