1. Что такое высота правильной четырехугольной пирамиды, если апофема равна 10 см, а сторона основания 12 см?

1. Чтобы найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, нам понадобятся апофема (расстояние от вершины пирамиды до середины ребра основания) и сторона основания. В данной задаче апофема равна 10 см, а сторона основания равна 12 см.

Для начала, давайте воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного половиной стороны основания, апофемой и высотой пирамиды. Мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[высота^2 = апофема^2 - (сторона/2)^2\]

Подставим известные значения:

\[высота^2 = 10^2 - (12/2)^2\]
\[высота^2 = 100 - 36\]
\[высота^2 = 64\]

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон, чтобы найти высоту:

\[высота = \sqrt{64}\]
\[высота = 8 см\]

Таким образом, высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см.

2. Чтобы найти высоту прямоугольного параллелепипеда, нам понадобятся длина диагонали и угол, образованный диагональю с плоскостью основания. В данной задаче диагональ равна 10 см, а угол равен 30 градусам.

Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник с заданным углом, длиной гипотенузы (диагональю) и нам нужно найти длину катета (высоту), мы можем использовать тригонометрическую функцию синус. Формула будет выглядеть так:

\[высота = гипотенуза \times \sin(угол)\]

Подставим известные значения:

\[высота = 10 \times \sin(30^\circ)\]
\[высота = 10 \times 0.5\]
\[высота = 5 см\]

Таким образом, высота прямоугольного параллелепипеда равна 5 см.

3. Чтобы найти площадь основания правильной четырехугольной пирамиды, нам понадобится боковое ребро и плоский угол при вершине. В данной задаче боковое ребро равно 5 см, а угол при вершине равен 60 градусам.

Площадь основания мы можем найти с помощью формулы для площади треугольника:

\[площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота\]

Для правильной четырехугольной пирамиды, основание является равносторонним треугольником, поэтому все его стороны и углы равны. Чтобы найти высоту, мы можем использовать тригонометрическую функцию синус. Формула будет выглядеть так:

\[высота = боковое \,ребро \times \sin(угол)\]

Подставим известные значения:

\[высота = 5 \times \sin(60^\circ)\]
\[высота = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[высота = \frac{5\sqrt{3}}{2}\]

Теперь мы можем найти площадь основания:

\[площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота\]
\[площадь = \frac{1}{2} \times (5 \times \frac{5\sqrt{3}}{2})\]
\[площадь = \frac{25\sqrt{3}}{4}\]

Таким образом, площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна \(\frac{25\sqrt{3}}{4}\) (квадратных сантиметров).