Каков объем правильной четырёхугольной пирамиды с высотой 10 см и двугранным углом при основании в 60 градусов?

Для решения этой задачи нам потребуется формула для объема пирамиды. Общая формула для объема пирамиды выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.

Для нашей задачи, если известны высота пирамиды и площадь основания, мы сможем найти объем пирамиды. Давайте разберемся поэтапно.

Шаг 1: Найдем площадь основания пирамиды.

Площадь основания пирамиды зависит от ее формы. В нашем случае это правильный четырехугольник. Площадь правильного четырехугольника можно найти с помощью следующей формулы:

\[ S_{\text{основания}} = a^2 \cdot \frac{2}{4} \cdot \tan(\frac{\pi}{4}) \]

где \( a \) - длина стороны четырехугольника.

У нас нет информации о длине стороны четырехугольника, но у нас имеется двугранный угол при основании в 60 градусов. Объединим эти сведения.

Для правильного четырехугольника с двугранным углом при основании в 60 градусов, длина стороны \( a \) будет следующей:

\[ a = 2 \cdot h \cdot \tan(\frac{\pi}{6}) \]

Подставим найденное значение длины стороны в формулу для площади основания пирамиды:

\[ S_{\text{основания}} = (2 \cdot h \cdot \tan(\frac{\pi}{6}))^2 \cdot \frac{2}{4} \cdot \tan(\frac{\pi}{4}) \]

Шаг 2: Найдем объем пирамиды, подставив найденное значение площади основания в формулу объема:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h \]

Теперь, когда мы знаем все формулы, давайте подставим все значения и рассчитаем объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 10 см и двугранным углом при основании в 60 градусов.

\[ a = 2 \cdot (10 \, \text{см}) \cdot \tan(\frac{\pi}{6}) \approx 20 \, \text{см} \cdot \sqrt{3} \]
\[ S_{\text{основания}} = (20 \, \text{см} \cdot \sqrt{3})^2 \cdot \frac{2}{4} \cdot \tan(\frac{\pi}{4}) \approx 60 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 60 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \cdot 10 \, \text{см} = 600 \sqrt{3} \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 10 см и двугранным углом при основании в 60 градусов составляет \( 600 \sqrt{3} \) кубических сантиметров.