Каков объем правильной четырехугольной пирамиды с основанием стороной 4 корень из 3, если угол между боковой гранью

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам понадобятся знания о формулах для объема пирамиды и значении угла между боковой гранью и плоскостью основания. Давайте начнем с формулы для объема пирамиды.

Объем \(V\) правильной пирамиды может быть найден по формуле:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h,\]
где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

У нас дана сторона основания \(a = 4 \sqrt{3}\) и угол \(\alpha = 60^\circ\) между боковой гранью и плоскостью основания. Для нахождения высоты пирамиды, нам понадобятся знания о тригонометрии.

Высота \(h\) пирамиды может быть найдена по формуле:
\[h = a \cdot \sin(\alpha),\]
где \(a\) - длина стороны основания, \(\alpha\) - угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы и значения, мы можем решить задачу.

1. Найдем высоту пирамиды:
\[h = a \cdot \sin(\alpha) = 4 \sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ).\]
Для этого, мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[h = 4 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6.\]

2. Теперь, найдем площадь основания пирамиды.
У нас правильная четырехугольная пирамида, поэтому ее основание является квадратом.
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны, так что
\(S_{\text{основания}} = a^2 = (4 \sqrt{3})^2 = 48\).

3. Теперь мы можем найти объем. Подставим найденные значения в формулу для объема пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 6.\]
Выполняя простые вычисления, получим:
\[V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 6 = 96.\]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с основанием стороной \(4 \sqrt{3}\) и углом между боковой гранью и плоскостью основания, составляющим 60 градусов, равен 96.