Каков объём полученного цилиндра, если радиус его основания уменьшили в 6 раз, а высоту увеличили в 8 раз, при условии

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для объема цилиндра:

\[V = \pi r^2 h\]

где \(V\) - объем цилиндра, \(\pi\) - математическая константа, равная приблизительно 3.14, \(r\) - радиус основания цилиндра, и \(h\) - его высота.

По условию задачи, радиус основания уменьшили в 6 раз, следовательно, новый радиус, обозначим его \(r_1\), будет равен \(r/6\).

Также высоту цилиндра увеличили в 8 раз, поэтому новая высота, обозначим ее \(h_1\), будет равна \(8h\).

Мы уже знаем, что объем исходного цилиндра составляет 324 см³, то есть \(V = 324\).

Теперь мы можем записать формулу для нового объема цилиндра:

\[\pi (r/6)^2 \cdot 8h = 324\]

Давайте решим эту формулу:

\[\pi \cdot \frac{(r^2)}{36} \cdot 8h = 324\]

Для упрощения выражения, мы можем переписать его:

\[\frac{\pi \cdot (r^2) \cdot 8h}{36} = 324\]

Теперь избавимся от констант, чтобы упростить формулу:

\[(r^2) \cdot 8h = 324 \cdot 36\]

Далее, мы можем разделить обе стороны на \(8h\):

\[r^2 = \frac{324 \cdot 36}{8h}\]

И теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[r = \sqrt{\frac{324 \cdot 36}{8h}}\]

Таким образом, получили новое значение радиуса \(r\), исходя из условий задачи.

Теперь, чтобы найти объем нового цилиндра, мы можем использовать исходную формулу объема цилиндра:

\[V = \pi r_1^2 h_1\]

Подставляем в эту формулу найденные значения:

\[V = \pi (\sqrt{\frac{324 \cdot 36}{8h}}/6)^2 \cdot 8h\]

Упрощаем выражение и решаем его:

\[V = \pi \cdot \frac{\frac{324 \cdot 36}{8h}}{36} \cdot 8h\]

\[V = \pi \cdot \frac{324 \cdot 36 \cdot 8h}{8h \cdot 36}\]

\[V = \pi \cdot \frac{324 \cdot 8h}{1}\]

\[V = \pi \cdot 2592h\]

Таким образом, объем нового цилиндра равен \(2592\pi h\).

Пожалуйста, обратите внимание, что мы использовали \(\pi\) вместо его приближенного значения в математическом выражении, чтобы сохранить точность ответа.