Каков объём пирамиды, у которой основанием служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости

Для решения данной задачи, давайте вначале разберемся с ее условием. У нас есть пирамида, у которой основанием является прямоугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости, на которой лежит основание, а остальные три боковые грани наклонены под углом 45 градусов к этой плоскости. Также известно, что вертикальная высота пирамиды равна некоторому значению, которое не указано в условии.

Мы можем применить геометрические свойства пирамиды, чтобы решить эту задачу. Пирамида может быть разделена на две части: основание и боковые грани. Мы можем рассмотреть основание пирамиды как прямоугольник с площадью \(S\), а вертикальную высоту пирамиды обозначим как \(h\).

Перпендикулярная плоскость к основанию разделяет пирамиду на две правильные пирамиды: одна с прямоугольной основой, а другая с треугольной основой. Важно отметить, что оба треугольника на вершине пирамиды представляют собой равнобедренные прямоугольники, так как соответствующие углы между боковыми гранями равны 45 градусам.

Рассмотрим треугольную пирамиду на одной из боковых граней. Построим высоту этой пирамиды, которая будет перпендикулярна основанию и пересекает его в его серединной точке. Получим равнобедренный прямоугольный треугольник с углами 45, 45 и 90 градусов.

Поскольку у нас равнобедренный треугольник, мы знаем, что соотношение между катетами и гипотенузой равно \(\frac{{\text{{катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\). Так как высота пирамиды проходит через середину прямоугольника, ее длина будет равна половине длины прямоугольника, то есть \(\frac{{a}}{{2}}\), где \(a\) - длина одного из катетов треугольника.

Теперь мы можем вычислить высоту треугольной пирамиды, используя полученные соотношения:
\[h_{\text{{тр}}}=a_{\text{{прямоугольника}}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Так как треугольная грань пирамиды наклонена под углом 45 градусов к плоскости основания, она будет образовывать с плоскостью основания прямой угол. То есть, пирамида разбивается на два прямых угла, каждый из которых равен 90 градусам. Таким образом, высота пирамиды будет равна высоте \(\frac{{h_{\text{{тр}}}}}{\sqrt{2}}\), где \(\sqrt{2}\) - это соотношение между главной диагональю и стороной прямоугольника.

Теперь давайте перейдем к расчету объема пирамиды с прямоугольной основой. Объем прямоугольной пирамиды можно вычислить по формуле:
\[V_{\text{{прямоугольной}}}=\frac{{S\cdot h_{\text{{прямоугольной}}}}}{3}\]

Здесь \(S\) - площадь прямоугольника, а \(h_{\text{{прямоугольной}}}\) - высота, определенная ранее.

Окончательный ответ нашей задачи будет выглядеть следующим образом:
\[V_{\text{{пирамиды}}}=\frac{{S\cdot \frac{{a_{\text{{прямоугольника}}}}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}}{3}=\frac{{S\cdot a_{\text{{прямоугольника}}}}}{6\sqrt{2}}\cdot h_{\text{{прямоугольной}}}\]

Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема пирамиды с прямоугольным основанием, одной перпендикулярной боковой гранью и тремя гранями, наклоненными под углом 45 градусов к плоскости основания.